맥스웰 방정식의 평면파 특수해

개요

• 맥스웰 방정식은 전파되는 파동과 같은 특수해를 가진다
• 맥스웰은 이러한 해의 존재로부터 전자기파의 존재를 예측하고, 빛이 전자기적인 현상임을 발견

평면파 특수해

진공에서의 맥스웰 방정식

• 맥스웰 방정식

$$ \left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}&=0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B}&= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E}&= -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B}&= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \end{aligned} \right. \label{me} $$

특수해의 유도

• $\mathbf{r}=(x,y,z)$로 쓰자
• 상수 $\omega\in \mathbb{R}$과 3차원 벡터 $\mathbf{A}_0,\mathbf{k}\in \mathbb{R}^3$에 대하여 벡터장 $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\mathbf{A}_0 e^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$는 다음을 만족한다

$$ \left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{A}&=i \mathbf{k}\cdot \mathbf{A} \\ \nabla \times \mathbf{A}&=i \mathbf{k}\times \mathbf{A} \\ \frac{\partial \mathbf{A}} {\partial t}&= - i \omega \mathbf{A} \end{aligned} \right. $$

• \ref{me}를 만족하는 다음과 같은 형태의 해 $(\mathbf{E},\mathbf{B})$를 찾으려 한다

$$ \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0 e^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_0 e^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)} \label{be} $$

• \ref{be}에 \ref{me}를 적용하면 다음과 같은 관계식을 얻는다

$$ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{k}\cdot \mathbf{E}_0&=0 \\ \mathbf{k}\cdot \mathbf{B}_0&=0 \\ \mathbf{k}\times \mathbf{E}_0&=\omega \mathbf{B}_0 \\ \mathbf{k}\times \mathbf{B}_0&=- \mu_0\epsilon_0\omega \mathbf{E}_0 \end{aligned} \right. \label{rel} $$

• $\omega\neq 0$일 때, \ref{rel}이 성립할 필요충분조건은 다음과 같다

$$ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{k}\cdot \mathbf{E}_0&=0 \\ \mathbf{B}_0&=\frac{\mathbf{k}\times \mathbf{E}_0}{\omega} \\ \mu_0\epsilon_0 &= (\frac{k}{\omega})^2 \end{aligned} \right. $$ 여기서 $k=|\mathbf{k}|$.

• 벡터의 외적(cross product)이 만족시키는 성질이 이러한 계산에 유용하다
• 요약하면, \ref{be}과 같은 꼴의 평면파 특수해는 전기장, 자기장, 파동의 진행방향이 각각 서로 수직인 성질을 갖는다

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWU5wek5ubXdnc2M/edit
• http://mathematica.stackexchange.com/questions/1987/how-do-i-plot-a-plane-em-wave

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node48.html

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Sinusoidal_plane-wave_solutions_of_the_electromagnetic_wave_equation