유한체 위의 타원곡선에 대한 가우스 정리

개요

• 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에 정의된 사영평면 $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_p)$에서 방정식 $x^3+y^3+z^3=0$의 해의 개수 $M_p$는 다음과 같이 주어진다
• $p\equiv 2\pmod 3$이면, $M_p=p+1$
• $p\equiv 1\pmod 3$이면, $M_p=p+1+A$. 여기서 $A$는 $A\equiv 1 \pmod 3$와 적당한 정수 $B$가 존재하여 $4p=A^2+27B^2$를 만족하는 유일한 정수

테이블

\begin{array}{c|cccc} p & p \bmod 3 & A & p+1+A & M_p \\ \hline 2 & 2 & 0 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ 5 & 2 & 0 & 6 & 6 \\ 7 & 1 & 1 & 9 & 9 \\ 11 & 2 & 0 & 12 & 12 \\ 13 & 1 & -5 & 9 & 9 \\ 17 & 2 & 0 & 18 & 18 \\ 19 & 1 & 7 & 27 & 27 \\ 23 & 2 & 0 & 24 & 24 \\ 29 & 2 & 0 & 30 & 30 \\ 31 & 1 & 4 & 36 & 36 \\ 37 & 1 & -11 & 27 & 27 \\ 41 & 2 & 0 & 42 & 42 \\ 43 & 1 & -8 & 36 & 36 \\ 47 & 2 & 0 & 48 & 48 \end{array}

메모

• http://mathoverflow.net/questions/76198/gauss-theorem-and-weil-conjecuters-for-elliptic-curves
• http://www.austms.org.au/Gazette/2008/Sep08/TechpaperBrown.pdf

관련된 항목들

• 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMk5maUxLYTBJSVE/edit

관련도서

• Silverman, Joseph H. 1992. Rational Points on Elliptic Curves. Springer.
  • IV.2. A Theorem of Gauss