"아이코시안 (icosian)"의 두 판 사이의 차이

2014년 7월 8일 (화) 05:45 판

개요

아이코시안 군과 아이코시안 환

아이코시안 군

사원수의 부분군으로 크기는 120이며 다음과 같은 벡터의 좌표에 짝치환을 적용하여 얻어지는 원소들로 구성
8개 $\frac{1}{2}(\pm 2,0,0,0)$
16개 $\frac{1}{2}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$
96개 $\frac{1}{2}(0,\pm 1,\pm \sigma,\pm \tau)$, 여기서 $\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

아이코시안 환

계수를 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$에서 갖는 사원수들이 이루는 환
E8 격자에 isometric

아이코시안과 $E_8$

아이코시안 군 $\mathscr{I}$의 원소 120개를 갖는다
$\sigma \mathscr{I}:=\{\sigma s|s\in \mathscr{I}\}$라 두자. 여기서 $\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\mathscr{I}\cup \sigma \mathscr{I}$의 240개 원소와 E8 루트 시스템 사이에 일대일대응이 존재하며, 이는 아이코시안 환의 유클리드 norm에 대하여 등장(isometric)이다
$\mathscr{I}\cup \sigma \mathscr{I}$의 원소들을 다음 8개의 원소들을 이용하여 정수계수 선형결합으로 쓰면, 아래의 테이블을 얻는다

$$ \{\sigma \{-1,\tau ,-\sigma ,0\},\{-\tau ,1,0,\sigma \},\{0,-\tau ,1,-\sigma \},\{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\sigma ,0,\tau \},\sigma \{-\sigma ,-\tau ,0,-1\},\sigma \{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\tau ,\sigma ,0\}\} $$

테이블

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbnlqcFJRQVE0ZWs/edit

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Icosian

리뷰, 에세이, 강의노트

Biggs, Norman. “The Icosian Calculus of Today.” Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A. Mathematical and Physical Sciences 95, no. suppl. (1995): 23–34.

@@ 21번째 줄: / 21번째 줄: @@
 * $\sigma \mathscr{I}:=\{\sigma s|s\in \mathscr{I}\}$라 두자. 여기서 $\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
 * $\mathscr{I}\cup \sigma \mathscr{I}$의 240개 원소와 [[E8 루트 시스템]] 사이에 일대일대응이 존재하며, 이는 아이코시안 환의 유클리드 norm에 대하여 등장(isometric)이다
+* $\mathscr{I}\cup \sigma \mathscr{I}$의 원소들을 다음 8개의 원소들을 이용하여 정수계수 선형결합으로 쓰면, 아래의 테이블을 얻는다
+$$
+\{\sigma \{-1,\tau ,-\sigma ,0\},\{-\tau ,1,0,\sigma \},\{0,-\tau ,1,-\sigma \},\{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\sigma ,0,\tau \},\sigma \{-\sigma ,-\tau ,0,-1\},\sigma \{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\tau ,\sigma ,0\}\}
+$$
 ===테이블===
 [[파일:아이코시안 (icosian)1.png]]