"아이코시안 (icosian)"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 12일 (목) 00:05 판

개요

아이코시안 군과 아이코시안 환

아이코시안 군

사원수의 부분군으로 크기는 120이며 다음과 같은 벡터의 좌표에 짝치환을 적용하여 얻어지는 원소들로 구성
8개 \(\frac{1}{2}(\pm 2,0,0,0)\)
16개 \(\frac{1}{2}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\)
96개 \(\frac{1}{2}(0,\pm 1,\pm \sigma,\pm \tau)\), 여기서 \(\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

아이코시안 환

계수를 \(\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\)에서 갖는 사원수들이 이루는 환 \(\mathscr{I}\)
E8 격자에 isometric

아이코시안과 \(E_8\)

아이코시안 군 \(G\)는 120개의 원소를 갖는다
\(\sigma G:=\{\sigma s|s\in G\}\)라 두자. 여기서 \(\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
\(G\cup \sigma G\)의 240개 원소와 E8 루트 시스템 사이에 일대일대응이 존재하며, 이는 아이코시안 환의 유클리드 norm에 대하여 등장(isometric)이다
\(G\cup \sigma G\)의 원소들을 다음 8개의 원소들을 이용하여 정수계수 선형결합으로 쓰면, 아래의 테이블을 얻는다

\[ \{\sigma \{-1,\tau ,-\sigma ,0\},\{-\tau ,1,0,\sigma \},\{0,-\tau ,1,-\sigma \},\{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\sigma ,0,\tau \},\sigma \{-\sigma ,-\tau ,0,-1\},\sigma \{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\tau ,\sigma ,0\}\} \]

테이블

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbnlqcFJRQVE0ZWs/edit

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Icosian

리뷰, 에세이, 강의노트

Biggs, Norman. “The Icosian Calculus of Today.” Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A. Mathematical and Physical Sciences 95, no. suppl. (1995): 23–34.

@@ 5번째 줄: / 5번째 줄: @@
 ==아이코시안 군==
 * 사원수의 부분군으로 크기는 120이며 다음과 같은 벡터의 좌표에 짝치환을 적용하여 얻어지는 원소들로 구성
-* 8개 $\frac{1}{2}(\pm 2,0,0,0)$
+* 8개 <math>\frac{1}{2}(\pm 2,0,0,0)</math>
-* 16개 $\frac{1}{2}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$
+* 16개 <math>\frac{1}{2}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)</math>
-* 96개 $\frac{1}{2}(0,\pm 1,\pm \sigma,\pm \tau)$, 여기서 $\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
+* 96개 <math>\frac{1}{2}(0,\pm 1,\pm \sigma,\pm \tau)</math>, 여기서 <math>\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
 ==아이코시안 환==
-* 계수를 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$에서 갖는 사원수들이 이루는 환 $\mathscr{I}$
+* 계수를 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{5}]</math>에서 갖는 사원수들이 이루는 환 <math>\mathscr{I}</math>
 * [[E8]] 격자에 isometric
-==아이코시안과 $E_8$==
+==아이코시안과 <math>E_8</math>==
-* 아이코시안 군 $G$는 120개의 원소를 갖는다
+* 아이코시안 군 <math>G</math>는 120개의 원소를 갖는다
-* $\sigma G:=\{\sigma s|s\in G\}$라 두자. 여기서 $\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
+* <math>\sigma G:=\{\sigma s|s\in G\}</math>라 두자. 여기서 <math>\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>
-* $G\cup \sigma G$의 240개 원소와 [[E8 루트 시스템]] 사이에 일대일대응이 존재하며, 이는 아이코시안 환의 유클리드 norm에 대하여 등장(isometric)이다
+* <math>G\cup \sigma G</math>의 240개 원소와 [[E8 루트 시스템]] 사이에 일대일대응이 존재하며, 이는 아이코시안 환의 유클리드 norm에 대하여 등장(isometric)이다
-* $G\cup \sigma G$의 원소들을 다음 8개의 원소들을 이용하여 정수계수 선형결합으로 쓰면, 아래의 테이블을 얻는다
+* <math>G\cup \sigma G</math>의 원소들을 다음 8개의 원소들을 이용하여 정수계수 선형결합으로 쓰면, 아래의 테이블을 얻는다
-$$
+:<math>
 \{\sigma \{-1,\tau ,-\sigma ,0\},\{-\tau ,1,0,\sigma \},\{0,-\tau ,1,-\sigma \},\{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\sigma ,0,\tau \},\sigma \{-\sigma ,-\tau ,0,-1\},\sigma \{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\tau ,\sigma ,0\}\}
-$$
+</math>
 ===테이블===
 [[파일:아이코시안 (icosian)1.png]]