"베르누이 수에 대한 쿰머 합동식"의 두 판 사이의 차이
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| − | * $B_k$는 베르누이 수 | + | * $B_k$는 [[베르누이 수]] |
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| + | n & B_n \\ | ||
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| + | 1 & -\frac{1}{2} \\ | ||
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| + | 10 & \frac{5}{66} \\ | ||
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| + | ;정리 (쿰머) | ||
$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$ | $p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$ | ||
| − | + | ===예=== | |
* $p=5$라 두면, 다음이 성립한다 | * $p=5$라 두면, 다음이 성립한다 | ||
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\begin{array}{c|c|c|c} | \begin{array}{c|c|c|c} | ||
| − | k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right| | + | k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\ |
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2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ | 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ | ||
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| − | + | ;정리 (쿰머) | |
| − | + | $p-1\nmid k,k'$이고 $k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}$이면, | |
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| − | (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod p^{N+1} | + | (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} |
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| − | + | ===예=== | |
* $p=5$, $N=1$로 두자 | * $p=5$, $N=1$로 두자 | ||
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\begin{array}{c|c|c|c} | \begin{array}{c|c|c|c} | ||
| − | {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \\ | + | {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\ |
\hline | \hline | ||
\{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ | \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ | ||
2014년 7월 9일 (수) 21:11 판
개요
- 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
- p진 L-함수 이론을 통하 이해할 수 있다
쿰머 합동식
기호
- 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod p^m$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
- 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
- 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자
$$ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$}\\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$
- $B_k$는 베르누이 수
$$ \begin{array}{c|c} n & B_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & 0 \\ 4 & -\frac{1}{30} \\ 5 & 0 \\ 6 & \frac{1}{42} \\ 7 & 0 \\ 8 & -\frac{1}{30} \\ 9 & 0 \\ 10 & \frac{5}{66} \\ \end{array} $$
- 정리 (쿰머)
$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$
예
- $p=5$라 두면, 다음이 성립한다
$$ \begin{array}{c|c|c|c} k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\ \hline 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\ 10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\ 14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\ 22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\ 26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\ 30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\ \end{array} $$
- 정리 (쿰머)
$p-1\nmid k,k'$이고 $k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}$이면, $$ (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} $$
예
- $p=5$, $N=1$로 두자
$$ \begin{array}{c|c|c|c} {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\ \hline \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ \{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\ \{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\ \{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\ \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\ \end{array} $$
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스