"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이

2014년 7월 10일 (목) 14:38 판

개요

수체(number field) $K$의 정수환 $\mathcal{O}_K$ 단위(unit)의 rank 에 대한 정리
$[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2$일 때, $\mathcal{O}_K^{*}$의 rank는 $r_1+r_2-1$이다
이 군의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다

regulator

디리클레 유수 (class number) 공식

\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]

기호
- $r_1$는 real embedding 의 개수, $2r_2$는 complex embedding의 개수
- $h_K$ 는 class number
- $w_K$는 $\mathcal{O}_K$ 의 unit group의 크기
- $d_K$는 $K$의 판별식(discriminant)
- $R_K$는 regulator
$R_K$는 기본 단위 $\epsilon_1,\cdots, \epsilon_{r_1+r_2-1}$을 이용하여 얻을 수 있다

실 이차수체의 경우

$[K : \mathbb{Q}] =2$, $r_1=2, r_2=0$이므로, $\mathcal{O}_K^{*}$의 rank는 1이다
$\mathcal{O}_K^{*}$의 생성원 $\epsilon_K$을 기본 단위 (fundamental unit)이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

정리 (디리클레 class number 공식)

실 이차 수체(real quadratic field) $K$에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}\]

$h_K$ 는 유수, $d_K$는 $K$의 판별식(discriminant), $\epsilon_K$은 기본 단위 (실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목 참조)

regulator $R_K=\ln \epsilon_K$로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다

$$ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|\right) \end{array} \right) $$

예

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$
$\epsilon_K=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$
$R_K$는 다음 행렬의 $1\times 1$ minor로부터 얻어진다

$$ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) & \log \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right) \end{array} \right) $$

$R_K=\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) =0.481211825\cdots$

원분체

원분체 (cyclotomic field)

예

$K=\mathbb{Q}(\theta)$, $\theta=e^{2\pi i/7}$
$[K : \mathbb{Q}] =6$, $r_1=0, r_2=3$이므로, $\mathcal{O}_K^{*}$의 rank는 2이다
기본 단위 $\epsilon_1=1+\theta$와 $\epsilon_2=1+\theta+\theta^2$
regulator $R_{K}$는 2×3행렬

$$ \left( \begin{array}{ccc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) \\ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right) $$ 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다

$R_K\approx 2.10181872849\cdots$

higher regulator

데데킨트 제타함수에서 가져옴
수체 $K$, $[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2$
다음이 성립한다

\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 $\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)$ 는 Bloch group $B(K)\otimes \mathbb{Q}$의 $\mathbb{Q}$-기저, $D$는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수

역사

수학사 연표

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNEd0NlB6R0RsV1E/edit

수학용어번역

unit - 대한수학회 수학용어집
unit 단위, 단원

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-*  수체(number field)K의 대수적정수 <math>\mathfrak{O}_K</math> unit의 rank 에 대한 정리
+* 수체(number field) $K$의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math> 단위(unit)의 rank 에 대한 정리
-* <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> 인 경우,  <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 <math>r_1+r_2-1</math>이다
+* <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math>일 때, <math>\mathcal{O}_K^{*}</math>의 rank는 <math>r_1+r_2-1</math>이다
+* 이 군의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다
+===regulator===
+* [[디리클레 유수 (class number) 공식]]
+:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math>
+* 기호
+** $r_1$는 real embedding 의 개수,  $2r_2$는 complex embedding의 개수
+** <math>h_K</math> 는 class number
+** <math>w_K</math>는 <math>\mathcal{O}_K</math> 의 unit group의 크기
+** <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant)
+** $R_K$는 regulator
+* $R_K$는 기본 단위 $\epsilon_1,\cdots, \epsilon_{r_1+r_2-1}$을 이용하여 얻을 수 있다
 ==실 이차수체의 경우==
-* <math>[K : \mathbb{Q}] =2</math>, <math>r_1=2, r_2=0</math>이므로, <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 1이다
+* <math>[K : \mathbb{Q}] =2</math>, <math>r_1=2, r_2=0</math>이므로, <math>\mathcal{O}_K^{*}</math>의 rank는 1이다
-* <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 fundamental unit이라 하며 [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]의 해를 구하면 얻어진다
+* <math>\mathcal{O}_K^{*}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 기본 단위 (fundamental unit)이라 하며 [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]의 해를 구하면 얻어진다
-* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
+* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
 ;정리 (디리클레 class number 공식)
 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
-:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}</math>
+:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}</math>
-<math>h_K</math> 는 class number, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit ([[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit|실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] 참조)
+<math>h_K</math> 는 유수, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 기본 단위 ([[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] 항목 참조)
+* regulator $R_K=\ln \epsilon_K$로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다
+$$
+\left(
+\begin{array}{cc}
+ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|\right)
+\end{array}
+\right)
+$$
+===예===
+* $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$
+* $\epsilon_K=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$
+* $R_K$는 다음 행렬의 $1\times 1$ minor로부터 얻어진다
+$$
+\left(
+\begin{array}{cc}
+  \log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) & \log \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right)
+\end{array}
+\right)
+$$
+* $R_K=\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) =0.481211825\cdots$
-==원분체의 예==
+==원분체==
 * [[원분체 (cyclotomic field)]]
-* <math>K=\mathbb{Q}\left(\zeta _7\right)</math>
+===예===
-* <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, <math>r_1=0, r_2=3</math>이므로, <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 2이다
+* <math>K=\mathbb{Q}(\theta)</math>, $\theta=e^{2\pi i/7}$
-*  fundamental units <math>1+\zeta _7</math>와 <math>1+\zeta _7+\zeta _7^2</math>
+* <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, <math>r_1=0, r_2=3</math>이므로, <math>\mathcal{O}_K^{*}</math>의 rank는 2이다
-*  regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬:<math>\left( \begin{array}{ccc}  \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\  \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)</math> 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다
+* 기본 단위 <math>\epsilon_1=1+\theta</math>와 <math>\epsilon_2=1+\theta+\theta^2</math>
-* <math>R_K\approx 2.10182\cdots</math>
+*  regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬
+$$
+\left(
+\begin{array}{ccc}
+ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) \\
+ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right)
+\end{array}
+\right)
+=\left( \begin{array}{ccc}  \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\  \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)
+$$ 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다
+* <math>R_K\approx 2.10181872849\cdots</math>
@@ 40번째 줄: / 79번째 줄: @@
 ==역사==
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
-*
@@ 55번째 줄: / 88번째 줄: @@
 *  Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
@@ 65번째 줄: / 97번째 줄: @@
 * [[데데킨트 제타함수]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNEd0NlB6R0RsV1E/edit
+==수학용어번역==
+* {{수학용어집|url=unit}}
+* unit 단위, 단원
 ==사전 형태의 자료==
@@ 74번째 줄: / 111번째 줄: @@
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_unit_theorem
+==관련논문==
+* Fieker, Claus, and Michael E. Pohst. 2008. “A Lower Regulator Bound for Number Fields.” Journal of Number Theory 128 (10): 2767–75. doi:10.1016/j.jnt.2008.04.005.
+* Friedman, Eduardo. 1989. “Analytic Formulas for the Regulator of a Number Field.” Inventiones Mathematicae 98 (3): 599–622. doi:10.1007/BF01393839.
 [[분류:정수론]]

"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이

2014년 7월 10일 (목) 14:38 판

목차

개요

regulator

실 이차수체의 경우

예

원분체

예

higher regulator

역사

메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

수학용어번역

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