"이차 수체 유클리드 도메인의 분류"의 두 판 사이의 차이

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*  실 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> 의 정수집합이 자연스런 norm 에 의해 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.<br>
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*  실 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> 의 정수집합이 자연스런 norm 에 의해 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.
 
** d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
 
** d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
 
* norm-Euclidean 이 아닌 경우의 일반적인 경우는 미해결
 
* norm-Euclidean 이 아닌 경우의 일반적인 경우는 미해결
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==유클리드 도메인이 아닌 예==
 
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*  복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math> 의 대수적정수집합 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in \mathbb{Z}\}</math>
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* <math>6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math> 이므로 UFD가 될 수 없다. <br>
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* <math>6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math> 이므로 UFD가 될 수 없다. 
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* [[이차형식 x^2+5y^2]] 에서 판별식이 -20인 정수계수 이차형식 <math>{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}</math> 를 통해서 PID가 아님을 알 수 있다<br>
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* [[이차형식 x^2+5y^2]] 에서 판별식이 -20인 정수계수 이차형식 <math>{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}</math> 를 통해서 PID가 아님을 알 수 있다
  
 
 
 
 
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==PID이면서 유클리드 도메인이 아닌 예==
 
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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==관련논문==
 
==관련논문==
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2974984 Principal Ideal Domains are Almost Euclidean]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2974984 Principal Ideal Domains are Almost Euclidean]
 
** John Greene, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 104, No. 2 (Feb., 1997), pp. 154-156
 
** John Greene, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 104, No. 2 (Feb., 1997), pp. 154-156
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* [http://www.jstor.org/stable/2153731 Non-Galois Cubic Fields which are Euclidean but not Norm-Euclidean]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2153731 Non-Galois Cubic Fields which are Euclidean but not Norm-Euclidean]
 
** David A. Clark, Mathematics of Computation, Vol. 65, No. 216 (Oct., 1996), pp. 1675-1679
 
** David A. Clark, Mathematics of Computation, Vol. 65, No. 216 (Oct., 1996), pp. 1675-1679
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF02567617 A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean]<br>
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF02567617 A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean]
 
** Clark DA, Manuscripta mathematica 83: 327–330, 1994
 
** Clark DA, Manuscripta mathematica 83: 327–330, 1994
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* [http://www.jstor.org/stable/2324118 Euclidean Quadratic Fields]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2324118 Euclidean Quadratic Fields]
 
** R. B. Eggleton, C. B. Lacampagne and J. L. Selfridge, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 99, No. 9 (Nov., 1992), pp. 829-837
 
** R. B. Eggleton, C. B. Lacampagne and J. L. Selfridge, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 99, No. 9 (Nov., 1992), pp. 829-837
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* '''[Campoli1988]'''[http://www.jstor.org/stable/2322908 A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain]<br>
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* '''[Campoli1988]'''[http://www.jstor.org/stable/2322908 A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain]
 
** Oscar A. Campoli, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 9 (Nov., 1988), pp. 868-871
 
** Oscar A. Campoli, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 9 (Nov., 1988), pp. 868-871
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* [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183514381 The Euclidean Algorithm]<br>
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* [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183514381 The Euclidean Algorithm]
 
** Motzkin, T., Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146, 1949.
 
** Motzkin, T., Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146, 1949.
  

2020년 11월 12일 (목) 22:53 판

개요

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 의 대수적정수집합이 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 다섯 가지가 있음.
    • \(d=1,2,3,7,11\)
  • 실 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 의 정수집합이 자연스런 norm 에 의해 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.
    • d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
  • norm-Euclidean 이 아닌 경우의 일반적인 경우는 미해결
  • 예를 들어
  • \(\mathbb{Z}[\sqrt{14}]\) 는 division algorithm 이 존재한다
  • Harper has shown that Z[sqrt(14)] is Euclidean. See his paper in Canad. J. Math. 56 (2004), no. 1, 55--70
  • Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean ri   ngs of algebraic integers", Canadian Journal of Mathematics56 (1): 71–76

 

 

유클리드 도메인이 아닌 예

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 의 대수적정수집합 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in \mathbb{Z}\}\)
  • \(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 이므로 UFD가 될 수 없다. 
  • 이차형식 x^2+5y^2 에서 판별식이 -20인 정수계수 이차형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\) 를 통해서 PID가 아님을 알 수 있다

 

 

 

PID이면서 유클리드 도메인이 아닌 예

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-19})\) 의 대수적정수 집합\[\mathbb{Z}[\theta]=\{a+b\theta:a,b\in \mathbb{Z}\}\] 여기서 \(\theta=\frac{-1+\sqrt{-19}}{2}\)
  • http://www.mathreference.com/id,npid.html
  • [Campoli1988]

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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관련논문

 

 

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