Spin(3)

 

 

개요

• 3차원 리 군(Lie group)의 하나
• SO(3) 의 double cover
• unitary unimodular group SU(2)와 동형
• 2차원 스피너 공간은 Spin(3)의 representation

 

 

정의

\(SU (2) = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\right \}\)

• SU(2) 의 표현로
  

 

 

스핀

• 양자역학적 시스템의 간단한 예
  
• 스핀
  
  • 각운동량의 양자화
    
  •  \(SU(2)\)의 표현론
    
  • half of highest weight of the module = spin
    
    • Casimir operator can also detect this number.
      
  • spin \(1/2\) is the most important case since they are the matter particles
    
  • this is why we have half-integral spin although those representations have integral highest weights
    
• 파울리 행렬 (해밀턴의 사원수 참조)
  \(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
  \(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
  \(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
  
• raising and lowering 연산자
  \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
  \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
  \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
  \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)
  

 

 

sl(2)

• 3차원 리대수
  \(E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
  \(F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
  \(H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
  
• commutator
  \([E,F]=H\)
  \([H,E]=2E\)
  \([H,F]=-2F\)
  

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• http://www.dfcd.net/articles/fieldtheory/spin.pdf
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Special_unitary_group
• http://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=