"산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)"의 두 판 사이의 차이
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a_0=a, b_0=b,\\ | a_0=a, b_0=b,\\ | ||
a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} | a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} | ||
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| − | * 수열 | + | * 수열 <math>a_n</math>과 <math>b_n</math>은 같은 수로 수렴하며, 이 때의 극한값 <math>M(a,b)</math>을 <math>a,b</math>의 산술 기하 평균이라 한다 |
| − | + | :<math>M(a,b):=\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n</math> | |
==예== | ==예== | ||
| − | * | + | * <math>M(\sqrt2,1)=1.1981402347355922074\cdots</math> |
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* 이 값은 [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]]에서 등장하였다 | * 이 값은 [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]]에서 등장하였다 | ||
2020년 11월 12일 (목) 06:55 판
개요
- 주어진 두 양수 \(a,b\)에 대하여 다음과 같이 두 수열 \(a_n\)과 \(b_n\)을 정의하자
\[ a_0=a, b_0=b,\\ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} \]
- 수열 \(a_n\)과 \(b_n\)은 같은 수로 수렴하며, 이 때의 극한값 \(M(a,b)\)을 \(a,b\)의 산술 기하 평균이라 한다
\[M(a,b):=\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n\]
예
- \(M(\sqrt2,1)=1.1981402347355922074\cdots\)
\[ \begin{array}{ccc} {n} & a_n & b_n \\ \hline 0 & 1.4142135623730950488 & 1.0000000000000000000 \\ 1 & 1.2071067811865475244 & 1.1892071150027210667 \\ 2 & 1.1981569480946342956 & 1.1981235214931201226 \\ 3 & 1.1981402347938772091 & 1.1981402346773072058 \\ 4 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 5 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 6 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 7 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 8 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 9 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ \end{array} \]
- 이 값은 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분에서 등장하였다
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Villarino, Mark B. “The AGM Simple Pendulum.” arXiv:1202.2782 [math], February 13, 2012. http://arxiv.org/abs/1202.2782.