"고전 케플러-쿨롱 시스템"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
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* 행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
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* [[고전역학에서의 적분가능 모형]]의 예
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* $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)$
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* 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다
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H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}
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여기서 $p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|$
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* 보존량
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H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}  \\
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\mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\
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\mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\
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&=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}})
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* 보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다
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\mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\
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E^2-1=2H_0G^2
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==메모==
 
==메모==
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* $\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbb{r}}{r}$
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* $\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}$
 
* http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
 
* http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
 
* http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm
 
* http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm

2014년 10월 16일 (목) 21:47 판

개요

  • 행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
  • 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
  • $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)$
  • 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다

$$ H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} $$ 여기서 $p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|$

  • 보존량

$$ \begin{aligned} H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} \\ \mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\ \mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\ &=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}) \end{aligned} $$

  • 보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다

$$ \mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\ E^2-1=2H_0G^2 $$


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