요르단-위그너 변환 (Jordan-Wigner transformation)

개요

• 파울리 행렬이 이루는 대수는 다음과 같이 보존과 페르미온 연산자의 성질을 동시에 가짐

$$ \begin{aligned} (\sigma_j^{+})^2=(\sigma_j^{-})^2=0\\ \{\sigma_j^{+},\sigma_j^{-}\}=1\\ [\sigma_j^{+},\sigma_k^{-}]=0,\quad (j\neq k) \end{aligned} $$

• 요르단-위그너 변환은 이를 페르미온 연산자(fermion operator)로 변환시켜줌

\[ \begin{aligned} \{c_j,c_k^\dagger\}=\delta_{jk}\\ \{c_j,c_k\} =\{c_j^\dagger,c_k^\dagger\} =0 \end{aligned} \]

• 2차원 이징 모형 (사각 격자)의 전달 행렬을 대각화하는데 활용

요르단-위그너 변환

파울리 연산자

이징 스핀이 +1 또는 -1의 값을 갖는데, 각각을 다음과 같은 벡터로 나타냅니다.

\[|+\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix},\ |-\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

스핀을 -1에서 +1로, 또는 +1에서 -1로 뒤집으려면 아래 행렬을 곱해줍니다. \[\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}:\ \sigma^+|-\rangle =|+\rangle,\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}:\ \sigma^-|+\rangle=|-\rangle\]

요르단-위그너 변환

M개의 스핀이 원의 둘레 위에 균일하게 놓여 있다고 합시다. 번호를 붙이면 1번부터 M번입니다. 여기서 j번째 스핀에 작용하는 파울리 연산자(Pauli operator) σ를 페르미온 연산자(fermion operator)로 변환시켜주는 게 요르단-위그너 변환(제 맘대로 줄여서 J-W)입니다. \[ \begin{aligned} \sigma_j^+ &=\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j^\dagger \\ \sigma_j^- &=c_j \exp\left\{-\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j \end{aligned} \]

역변환은 다음과 같이 주어집니다 \[ \begin{aligned} c_j^+ &=\exp\left\{-\pi i \sum_{m=1}^{j-1} \sigma_m^+ \sigma_m \right\} \sigma_j^+=\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} \sigma_m^+ \sigma_m \right\} \sigma_j^+\\ c_j^- &=\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} \sigma_m^+ \sigma_m \right\} \sigma_j^- \end{aligned} \]

이는 다음과 같이 표현 가능합니다 \[ \begin{aligned} c_j^+ &= \sigma_j^+ \prod_{k=1}^{j-1}(-\sigma_k^z)\\ c_j^- &= \sigma_j^- \prod_{k=1}^{j-1}(-\sigma_k^z) \end{aligned} \]

그럼 페르미온 연산자는 뭐냐... 페르미온 입자를 생성하기도 하고(†가 붙은 c) 소멸시키기도 하는(†가 없는 c) 연산자를 말합니다. 입자가 없는 진공 상태를 |>로 나타내겠습니다. 이 진공에 생성연산자를 이용해서 j라는 입자를 만들겠습니다. \[c_j^\dagger |\rangle=|j\rangle\]

j를 없애볼까요? \[c_j|j\rangle=|\rangle\]

교환관계식

이 연산자들은 다음과 같은 성질을 만족시킵니다. \[ \begin{aligned} \{c_j,c_k^\dagger\}=\delta_{jk}\\ \{c_j,c_k\} =\{c_j^\dagger,c_k^\dagger\} =0 \end{aligned} \]

페르미온 수연산자

아래식에서 보듯이 $c^{\dagger}c$는 입자 m의 개수를 측정합니다: \[c_m^\dagger c_m |m\rangle = |m\rangle,\ c_m^\dagger c_m |\rangle = 0\] 그래서 이름도 페르미온 수연산자(fermion number operator)입니다. 이 연산자의 값은 1 또는 0이므로 결국 J-W에서 지수 위의 합의 값은 음이 아닌 정수가 되고 결국 지수의 값도 +1이나 -1 중 하나입니다. 괜히 복잡해보이죠?;;; 간단히 다시 쓰면 아래와 같습니다. \[\sigma_j^+ = \left\{\begin{array}{cl} c_j^\dagger & \textrm{if}\ \sum_{m=1}^{j-1}c_m^\dagger c_m\ \textrm{even} \\ -c_j^\dagger & \textrm{if}\ \sum_{m=1}^{j-1}c_m^\dagger c_m\ \textrm{odd}\end{array}\right.\]

이 식에서 파울리 연산자는 j번째 스핀을 -1에서 +1로 뒤집으라는 말이고, 페르미온 연산자는 j라는 입자를 생성하라는 말입니다.

예

그런데 왜 1부터 j-1까지 입자가 몇 개냐가 중요하며 이게 또 부호를 결정할까요. 간단한 예를 들어봅시다. $$ \begin{align} |+-+\rangle & \leftrightarrow |13\rangle \\ \sigma_2^+|+-+\rangle=|+++\rangle & \leftrightarrow c_2^\dagger |13\rangle = |213\rangle= -|123\rangle \end{align} $$

첫째줄부터 보면, 1번, 3번 스핀은 +1이고 2번 스핀만 -1입니다. 이걸 입자 번호로만 표현하면 |13>이 되죠. 둘째줄은 -1인 2번 스핀을 뒤집어서 +1로 만드는 연산을 보여줍니다. 여기에 해당하는 페르미온 연산은 2번 입자를 생성하는 것이죠. 다만 2번 입자는 1번 입자 '왼쪽'에 생성됩니다. 1번 입자와 2번 입자의 위치를 바꿔주는 과정에서 - 부호가 들어오죠. 위에 간단히 다시 쓴 J-W 식을 보면 2번보다 낮은 번호의 입자가 1개, 즉 홀수개 있었으므로 - 부호가 필요합니다.

테이블

\begin{array}{c|c} v & c_2^\dagger v \\ \hline \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|0_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},0_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & -\left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},0_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},0_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},0_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \left|1_{\hat{1}},1_{\hat{2}},1_{\hat{3}},1_{\hat{4}},1_{\hat{5}}\right\rangle & 0 \\ \end{array}

관련된 항목들

• 1차원 이징 모형(Ising model)
• 클리포드 대수와 스피너
• 스핀과 파울리의 배타원리

계산 리소스

• http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/menucomputing.html

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan-Wigner_transformation
• http://en.wikipedia.org/wiki/CCR_algebra

관련도서

• Michael Plischke, Birger Bergersen, Equilibrium Statistical Physics

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Michael Nielsen, The Fermionic canonical commutation relations and the Jordan-Wigner transform
• http://www.imsc.res.in/~rajeev/work/quantum_ising.pdf

관련논문

• Elliott Lieb, Theodore Schultz and Daniel Mattis, Two soluble models of an antiferromagnetic chain, Annals of Physics, Volume 16, Issue 3, December 1961, Pages 407-466
• Jordan, P., and E. Wigner. 1928. “Über das Paulische Äquivalenzverbot.” Zeitschrift für Physik 47 (9-10) (September 1): 631–651. doi:10.1007/BF01331938.
• http://dx.doi.org/