자연상수 e의 유리수 근사

개요

• 자연상수 e의 연분수 전개 $e=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,\cdots]$
• convergents는 다음과 같다

$$ 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465,\cdots $$

정리 (데이비스)

임의의 $\epsilon>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 유리수 $p/q$가 무한히 많이 존재한다 $$ |e-\frac{p}{q}|<(\frac{1}{2}+\epsilon) \frac{\log \log q}{q^2 \log q} $$ 한편, 다음 부등식을 만족시키는 유리수 $p/q$는 유한개뿐이다 $$ |e-\frac{p}{q}|<(\frac{1}{2}-\epsilon) \frac{\log \log q}{q^2 \log q} $$

매스매티카 파일 및 계산리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSTluZGFtTURGOEU/edit

관련논문

• Davis, C. S. “Rational Approximations to E.” Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 25, no. 04 (June 1978): 497–502. doi:10.1017/S1446788700021480.