타원곡선의 L-함수

개요

• http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro
• 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
• 타원 곡선 $E$가 $y^2=h(x)$, $h(x)$는 최고차항의 계수가 1이고 중근을 갖지 않는 정수계수 3차 다항식, 꼴로 주어졌다고 가정
• 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, $L$-함수 $L(E,s)$는 다음과 같이 정의됨

\[L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}\] 여기서 \[L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]

• 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\) (위의 Hasse-Weil 정리)
• $\Re(s)>\frac{3}{2}$이면, \ref{Les}는 절대수렴한다

함수방정식

• $\Lambda(s) = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\ \Gamma(s)L(E,s)$
• 다음이 성립한다

$$ \Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s) $$ 여기서 $\epsilon=\pm 1$

• $\Gamma(s)$가 $s=0$에서 단순 극(pole)을 가지므로, $L(E,s)=0$이다
• 따라서

$$ \Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0) $$

관련된 항목들

• 타니야마-시무라 추측(정리)
• 버치와 스위너톤-다이어 추측

리뷰, 에세이, 강의노트

• Benedict H. Gross, The arithmetic of elliptic curves—An update