"타원곡선의 L-함수"의 두 판 사이의 차이
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* http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro | * http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro | ||
* 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함 | * 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함 | ||
| − | * 타원 곡선 | + | * 타원 곡선 <math>E</math>가 <math>y^2=h(x)</math>, <math>h(x)</math>는 최고차항의 계수가 1이고 중근을 갖지 않는 정수계수 3차 다항식, 꼴로 주어졌다고 가정 |
| − | * 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, | + | * 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, <math>L</math>-함수 <math>L(E,s)</math>는 다음과 같이 정의됨 |
:<math>L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}</math> | :<math>L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}</math> | ||
여기서 | 여기서 | ||
:<math>L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.</math> | :<math>L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.</math> | ||
* 여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 <math>a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)</math> (위의 Hasse-Weil 정리) | * 여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 <math>a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)</math> (위의 Hasse-Weil 정리) | ||
| − | * | + | * <math>\Re(s)>\frac{3}{2}</math>이면, \ref{Les}는 절대수렴한다 |
==함수방정식== | ==함수방정식== | ||
| − | * | + | * <math>\Lambda(s) = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\ \Gamma(s)L(E,s)</math> |
* 다음이 성립한다 | * 다음이 성립한다 | ||
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\Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s) | \Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s) | ||
| − | + | </math> | |
| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\epsilon=\pm 1</math> |
| − | * | + | * <math>\Gamma(s)</math>가 <math>s=0</math>에서 단순 극(pole)을 가지므로, <math>L(E,s)=0</math>이다 |
* 따라서 | * 따라서 | ||
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\Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0) | \Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0) | ||
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2020년 11월 16일 (월) 04:20 기준 최신판
개요
- http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro
- 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
- 타원 곡선 \(E\)가 \(y^2=h(x)\), \(h(x)\)는 최고차항의 계수가 1이고 중근을 갖지 않는 정수계수 3차 다항식, 꼴로 주어졌다고 가정
- 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, \(L\)-함수 \(L(E,s)\)는 다음과 같이 정의됨
\[L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}\] 여기서 \[L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]
- 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\) (위의 Hasse-Weil 정리)
- \(\Re(s)>\frac{3}{2}\)이면, \ref{Les}는 절대수렴한다
함수방정식
- \(\Lambda(s) = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\ \Gamma(s)L(E,s)\)
- 다음이 성립한다
\[ \Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s) \] 여기서 \(\epsilon=\pm 1\)
- \(\Gamma(s)\)가 \(s=0\)에서 단순 극(pole)을 가지므로, \(L(E,s)=0\)이다
- 따라서
\[ \Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0) \]
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리뷰, 에세이, 강의노트
- Benedict H. Gross, The arithmetic of elliptic curves—An update