"바일 지표 공식 (Weyl character formula)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 26일 (목) 07:00 판

$V=L(\lambda)$ 이면, 캐릭터는 다음과 같이 주어진다
$\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}$
또다른 표현
$\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}$ 여기서 $A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$

denominator identity

${\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}$

$ $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$

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 <h5>개요</h5>
-<math>V=L(\lambda)</math> 이면,
+* <math>V=L(\lambda)</math> 이면, 캐릭터는 다음과 같이 주어진다<br><math>\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math><br>
+*  또다른 표현<br><math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서 <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math><br>
-<math>ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math>
 denominator identity
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 <h5>함수로 이해하기</h5>
-<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math>
+* <math>$e^{\lambda}$\in \mathbb{Z}[P]</math><br>
+* <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x\rangle}</math><br>
+* <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math><br>
-<math>A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>