사교 행렬

개요

• $M^T J_{n} M = J_{n}$을 만족시키는 $2n\times 2n$ 행렬 $M$ 을 사교행렬이라 함
• 여기서 $J_{n}$는 다음과 같이 주어진 $2n\times 2n$ 행렬

$$ J_{n} =\begin{pmatrix}0 & I_n \\-I_n & 0 \\\end{pmatrix} $$

$J_n$

• nonsingular, skew-symmetric 행렬
• $n=1$인 경우

$$ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right) $$

• $n=2$인 경우

$$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

• $n=3$인 경우

$$ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

사교행렬

• $M=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \operatorname{Sp}(2n,\R)$, $A,B,C,D\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$이 사교행렬이 될 필요충분조건은 다음과 같다

$$ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_n \end{align} $$

사교 행렬의 예

• 다음과 같은 $M$에 대하여, $M^T J_{3} M =J_{3}$이 성립한다

$$ M=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

수학용어번역

• 사교, 심플렉틱 symplectic - 대한수학회 수학용어집

관련된 항목들

• 블록 행렬
• 리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTFiR2V6eEY1Y00/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_matrix