"약수의 합과 오일러 토션트"의 두 판 사이의 차이
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* 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 <math>\varphi(n)</math> 으로 둠 | * 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 <math>\varphi(n)</math> 으로 둠 | ||
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2020년 11월 16일 (월) 06:39 판
개요
기호
- 자연수의 약수의 합
- 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합을 \(\sigma(n)\) 으로 나타냄\[\sigma(n)=\sum_{d|n}d\]
- 오일러의 totient 함수
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 \(\varphi(n)\) 으로 둠
문제
- \(\sigma(n)+\varphi(n)=2n\) <=> n이 소수이다
풀이
- \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 인 경우
- \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)
- \(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}\)
n 을 나누는 소수가 하나인 경우, 즉 k=1 인 경우
\(n=p_1 ^{\alpha _1}\)
\(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1}(p_1 - 1)\)
\(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\)
\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{2(1-p_1)}{1-p_1}+\frac{-p_1^{-1}+p_1^{-\alpha_1}}{1-p_1}}\) 이므로, \(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=2\) 이려면 \(\alpha_1=1\) 일 수밖에 없다.
이제 n을 나누는 소수가 둘 이상인 경우, 즉 \(k\geq 2\) 라 가정하자.
가령 k=3 인 경우, \(\alpha_i\geq 1\) 이므로,
\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{p_1^{-\alpha _1}\left(p_1^{\alpha _1+1}-1\right) p_2^{-\alpha _2} \left(p_2^{\alpha _2+1}-1\right) p_3^{-\alpha _3} \left(p_3^{\alpha _3+1}-1\right) }{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}{ p_1p_2 p_3}\)
\(\geq \frac{p_1 p_2 p_3}{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}\left(1-\frac{1}{p_1{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_3{}^2}\right)+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}{p_1 p_2 p_3}\)
여기서 다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.
\(x_n,y_n>0\) 이고, \(k\geq 2\) 인 자연수일 때,
\(\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n\)
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역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
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매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Bárány, Imre, Greg Martin, Eric Naslund, and Sinai Robins. “Primitive Points in Lattice Polygons.” arXiv:1509.02201 [math], September 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02201.