멜린-반스 적분

개요

• 감마함수의 곱을 적분
• 함수의 점근급수전개에 유용한 도구

멜린 변환

• 함수 $g,h$의 멜린변환을 $\tilde{g},\tilde{h}$라 하면, 다음이 성립한다

$$ \int_0^{\infty}g(y)h(y)y^{z-1}\,dy=\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\tilde{g}(w)\tilde{h}(z-w)\, dw $$

• 멜린변환의 성질을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \int_0^{\infty}g(xy)h(y)y^{z-1}\,dy=\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\tilde{g}(w)\tilde{h}(z-w)x^{-w}\, dw, \, \quad x>0 $$

• $z=1$일 때,

$$ \int_0^{\infty}g(xy)h(y)\,dy=\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\tilde{g}(w)\tilde{h}(1-w)\, dw $$

예

예1

• 함수 $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$의 멜린변환 $\tilde{f}$는 다음과 같다

$$ \tilde{f}(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}f(x)\,dx=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})},\, \quad 0<\Re{z}<2 $$

• 멜린역변환은 다음과 같다

$$ f(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\tilde{f}(z)x^{-z}\, dz=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<2 $$

• 즉,

$$ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<2 $$

예2

• $f$는 다음과 같다

$$ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&x\in(0,1)\\ 0&x>0 \end{cases} $$

• 멜린변환은 다음과 같다

$$ \tilde{f}(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}f(x)\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma \left(\frac{z}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{z+1}{2}\right)},\, \quad \Re{z}>0 $$

예3

• 적분으로 주어진 다음 함수 $f$를 생각하자

$$ f(x)=\int_{0}^{1}\left(\frac{\sin xy}{xy}\right)^2\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\, dy $$

• $f$의 멜린-반스 적분표현은 다음과 같다

$$ f(x)=-\frac{\pi}{8}\frac{1}{2\pi i}\int_{\delta-i\infty}^{\delta+i\infty}\frac{\Gamma(\frac{z}{2}-1)\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{z}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2}-\frac{z}{2})\Gamma(1-\frac{z}{2})}x^{-z}\, dz,\, \quad 0<\delta<1 $$

• 유수 정리를 이용하여 다음을 얻는다

$$ f(x)=\frac{\pi }{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n \Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma (n+1) \Gamma \left(n+\frac{3}{2}\right) \Gamma (n+2)} x^{2 n} $$

사전 형태의 자료

• https://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_integral

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHM2bFVYd3I3UHc/view
• http://forums.wolfram.com/mathgroup/archive/2007/Sep/msg00795.html

리뷰, 에세이, 강의노트

• Fikioris, George. “Mellin-Transform Method for Integral Evaluation: Introduction and Applications to Electromagnetics.” Synthesis Lectures on Computational Electromagnetics 2, no. 1 (January 1, 2007): 1–67. doi:10.2200/S00076ED1V01Y200612CEM013.
• Elizalde, E., K. Kirsten, and S. Zerbini. “Applications of the Mellin-Barnes Integral Representation.” Journal of Physics A: Mathematical and General 28, no. 3 (February 7, 1995): 617–29. doi:10.1088/0305-4470/28/3/016.
• http://www2.math.umd.edu/~punshs/Mellin-Barnes.pdf