"가우스의 class number one 문제"의 두 판 사이의 차이

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* [[베버(Weber) 모듈라 함수]]<br>
 
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<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>
 
<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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<math>\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
 
<math>\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>
 
<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>
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<math>\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>
 
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* <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math> 를 가정하자<br>
 
* <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math> 를 가정하자<br>
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* <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math> 이면,<br>
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* <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math> 이면, <math>\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}</math> d<br>
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* <math>\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}</math><br>
 
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2012년 7월 19일 (목) 17:32 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
    • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)

 

 

 

step 0
  • reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
  • \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) 이면 \(d=1,2\)
  • \(d\equiv 7 \pmod 8\) 이면 \(d=7\)

 

 

리뷰 : 베버 모듈라 함수

\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

\(\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

 

 

step 1
  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\) 를 가정하자
  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\) 이면, \(\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}\) d

 

 

step 2

 

\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

 

\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8-16=0\)

 

 

 

step 3
  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
  • \(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of  \(\mathbb{Q}\). 
  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\)
  • \(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두면, \(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다
  • 한편 \(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\) 이므로, 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)  의 해이다
     

 

 

 

역사

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

 

관련된 항목들

 

 

관련도서

 

 

사전형태의 참고자료

 

 

관련논문과 에세이
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