겔폰드-슈나이더 정리

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겔폰드-슈나이더 정리

(정리) 겔폰드-슈나이더, 1934

\(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha\) 는 초월수이다.

 

 

Comments

• In general, \(\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}\) is multivalued, where "log" stands for the complex logarithm. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
• An equivalent formulation of the theorem is the following: if\(\alpha\) and \(\gamma\) are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of \(\alpha\), then\((\log \gamma)/(\log \alpha)\) is either rational or transcendental.
• If the restriction that \(\beta\) be algebraic is removed, the statement does not remain true in general (choose \(\alpha=3\) and \(\beta=\log 2/\log 3\), which is transcendental, then \(\alpha^{\beta}=2\) is algebraic). A characterization of the values for \(\alpha\) and \(\beta\) which yield a transcendental \(\alpha^{\beta}\) is not known.

 

(wikipedia 의 Gelfond–Schneider theorem 페이지에서)

 

 

겔폰드 상수

• \(e^\pi\) 를 겔폰드 상수라 함
  
• \(e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{i}\)
  
• 겔폰드 슈나이더 정리를 적용하면, 초월수임이 증명.
  

 

 

겔폰드-슈나이더 상수

• \(2^{\sqrt2}\)
  
• 겔폰드 슈나이더 정리를 적용하면, 초월수임이 증명.
  

 

 

 

 

역사

• 힐버트 7번 문제
• 1934년 해결
• 수학사연표

 

 

 

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/w/index.php?title=겔폰드-슈나이더_정리
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_problems

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

관련도서 및 추천도서

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관련링크와 웹페이지

 

• Transcendental number theory
  
  • Michael Filaseta's Lecture notes
  • The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results

 

 

블로그

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