"공변미분(covariant derivative)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 13일 (금) 13:49 판

\(X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\), \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)
접속 (connection)
\(\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}\)
다양체 M의 coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)\) 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 \(Y\) 의 공변미분
\(\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)

측지선
\(Y=\alpha'(t)\) 인 경우,
\(\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)

@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 * <math>X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>, <math>Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math><br>
+* [[접속 (connection)]]<br><math>\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}</math><br>
+*  다양체 M의 coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)</math> 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분<br><math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math><br>
+<h5>측지선</h5>
-* [[접속 (connection)]]<br><math>\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}</math><br>
+* [[측지선]]
-*  다양체 M의 coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t),\cdots)</math> 로 표현되는 곡선<br>
+* <math>Y=\alpha'(t)</math> 인 경우,<br><math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math><br>
-*  공변미분<br><math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math><br>