분할수가 만족시키는 합동식

개요

• 라마누잔의 발견
• 분할수가 만족시키는 합동식

\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\] \[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\] \[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]

• 분할의 rank와 crank

 

항등식

• 분할수가 만족시키는 합동식을 설명하는 항등식

\[\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots \] \[\sum_{k=0}^\infty p(7k+5)q^k=7\frac{(q^7;q^7)_\infty^3}{(q;q)_\infty^4}+49q\frac{(q^7;q^7)_\infty^7}{(q;q)_\infty^8}=7+77 q+490 q^2+2436 q^3+10143 q^4+37338 q^5+\cdots\]

 

관련된 항목들

• 자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeTk0akpqa09XYXM/edit

   

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan's_congruences