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<h5>간단한 소개</h5>
  
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* 대원이 측지선으로, 평면기하학에서 직선의 역할을 함
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<h5>테셀레이션</h5>
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아래의 도표는 구면을 똑같이 생긴 삼각형들로 채울수 있는 경우 중에서 가장 중요한 것들이다.
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{| style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse;"
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! 구면기하학
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! *332
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이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각
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<math>\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
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라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,
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<math>\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}</math>
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가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. '''구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다.''' 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다. 눈썰미가 좋은 사람들이라면, 이 삼각형들이 정다면체와 연관이 있다는 것을 알수 있을 것이다.
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<h5>구면삼각형</h5>
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평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 그 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
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문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 겠습니다.
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북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.
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대원둘의 각도가 <math>\theta</math>로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 <math>2\theta</math>가 됩니다. (넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 구면의 넓이는 <math>4\pi</math>라는 사실을 이용하면 됩니다) 이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
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위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.
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<blockquote>
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'''이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.'''<br> 세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.<br> 따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = <math>2\pi</math> (= 구면의 절반의 넓이)
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그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 <math>A+B+C - \pi</math>
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</blockquote>
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그리고 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다! 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요~~~~~!!!!!
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<h5>하위주제들</h5>
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
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** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
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<h5>재미있는 사실</h5>
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<h5>관련된 단원</h5>
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<h5>많이 나오는 질문</h5>
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*  네이버 지식인<br>
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** [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=구면기하학]
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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* [[가우스-보네 정리]]
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/구면기하학]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/spherical_geometry
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* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
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* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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<h5>관련기사</h5>
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네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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* [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=구면기하학]
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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<h5>블로그</h5>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리]<br>
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** 피타고라스의 창
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<h5>이미지 검색</h5>
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* http://images.google.com/images?q=
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* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
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<h5>동영상</h5>
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=

2009년 4월 5일 (일) 20:12 판

간단한 소개
  • 대원이 측지선으로, 평면기하학에서 직선의 역할을 함

 

 

테셀레이션

아래의 도표는 구면을 똑같이 생긴 삼각형들로 채울수 있는 경우 중에서 가장 중요한 것들이다.

구면기하학
Td Oh Ih
*332 *432 *532
[[]]


( 3 3 2)

[[]]


(4 3 2)

[[]]


(5 3 2)

이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각

\(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,

\(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}\)

가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다. 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다. 눈썰미가 좋은 사람들이라면, 이 삼각형들이 정다면체와 연관이 있다는 것을 알수 있을 것이다.

 

구면삼각형

평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 그 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.


문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 겠습니다.

북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.


대원둘의 각도가 \(\theta\)로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 \(2\theta\)가 됩니다. (넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 구면의 넓이는 \(4\pi\)라는 사실을 이용하면 됩니다) 이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.


위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.

이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = \(2\pi\) (= 구면의 절반의 넓이)

그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 \(A+B+C - \pi\)

그리고 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다! 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요~~~~~!!!!!

 

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