Test234

개요

• j-불변량
  • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
• 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
• 복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
• 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장

정의

• \(q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}\)라 두자
• 타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다

\[ j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \] 여기서 \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

• 다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 \(g_2,g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조

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