"다항식의 판별식(discriminant)"의 두 판 사이의 차이
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* n차 다항식의 근을 <math>x_1,\cdots, x_n</math> 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다<br><math>(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2</math><br> | * n차 다항식의 근을 <math>x_1,\cdots, x_n</math> 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다<br><math>(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2</math><br> | ||
| − | * [[교대다항식(alternating polynomial)]] 의 곱이므로 [[대칭군과 대칭다항식|대칭다항식]] 이 되며, [[근과 계수와의 관계]] | + | * [[교대다항식(alternating polynomial)]] 의 곱이므로 [[대칭군과 대칭다항식|대칭다항식]] 이 되며, [[근과 계수와의 관계|]]다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다 |
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* 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자. | * 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자. | ||
* 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.<br><math>\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math><br> | * 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.<br><math>\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math><br> | ||
| − | * [[근과 | + | * [[근과 계수와의 관계]] 에 따라<br><math>x_1+x_2+x_3=0</math><br><math>x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a</math><br><math>x_1 x_2 x_3=-b</math><br> |
| + | * [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 사용하자<br><math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a</math><br><math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b</math><br><math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2</math><br> | ||
| + | * 위의 행렬은<br><math>\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>-4 a^3-27 b^2</math> 가 된다<br> | ||
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2011년 12월 8일 (목) 02:35 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- n차 다항식의 근을 \(x_1,\cdots, x_n\) 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다
\((\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2\) - 교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, [[근과 계수와의 관계|]]다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
2차식의 판별식
- 이차식 \(x^2+bx+c\)
- 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자
\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.
근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,
이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.
3차식의 판별식
- 다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
- 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.
\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\) - 근과 계수와의 관계 에 따라
\(x_1+x_2+x_3=0\)
\(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\)
\(x_1 x_2 x_3=-b\) - 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\)
\(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\)
\(x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\) - 위의 행렬은
\(\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다
역사
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
- http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
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