"다항식의 판별식(discriminant)"의 두 판 사이의 차이

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* 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자.
 
* 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자.
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*  판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 1 \\  x_1 & x_2 & x_3 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}  1 & x_1 & x_1^2 \\  1 & x_2 & x_2^2 \\  1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}  3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\  x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\  x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math><br>
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*  판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.:<math>\left( \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 1 \\  x_1 & x_2 & x_3 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}  1 & x_1 & x_1^2 \\  1 & x_2 & x_2^2 \\  1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}  3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\  x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\  x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math><br>
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* [[근과 계수와의 관계]] 에 따라<br><math>x_1+x_2+x_3=0</math><br><math>x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a</math><br><math>x_1 x_2 x_3=-b</math><br>
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* [[근과 계수와의 관계]] 에 따라:<math>x_1+x_2+x_3=0</math>:<math>x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a</math>:<math>x_1 x_2 x_3=-b</math><br>
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* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 사용하자<br><math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a</math><br><math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b</math><br><math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2</math><br>
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* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 사용하자:<math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a</math>:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b</math>:<math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2</math><br>
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*  위의 행렬은<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  3 & 0 & -2 a \\  0 & -2 a & -3 b \\  -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>-4 a^3-27 b^2</math> 가 된다<br>
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*  위의 행렬은:<math>\left( \begin{array}{ccc}  3 & 0 & -2 a \\  0 & -2 a & -3 b \\  -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>-4 a^3-27 b^2</math> 가 된다<br>
  
 
   
 
   

2013년 1월 12일 (토) 10:21 판

개요

2차식의 판별식

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.

근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,

이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.




3차식의 판별식

  • 다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
  • 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\]
  • 근과 계수와의 관계 에 따라\[x_1+x_2+x_3=0\]\[x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\]\[x_1 x_2 x_3=-b\]
  • 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자\[x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\]\[x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\]\[x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\]
  • 위의 행렬은\[\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\] 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다




역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스







사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

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