"대칭군 (symmetric group)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">방정식과 치환군</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">방정식에의 응용[[10287402|]]</h5>
  
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* [[#]]<br>
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* [[방정식과 대칭성 : 치환군]]<br>
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이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 <math>\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}</math>에 정의되는 전단사함수를 말한다. <math>\alpha_1</math>을 <math>\alpha_3</math>으로 보내고, <math>\alpha_3</math>을 <math>\alpha_1</math>로 보내고, <math>\alpha_2</math>와 <math>\alpha_4</math>는 그대로 주는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자.
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 &  4\end{pmatrix}</math>
 
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'''방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의'''된다.
 
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가령 위의 네 해는 <math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>, <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math>와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다.
 
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<math>\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 &  4\end{pmatrix}</math> 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, <math>\alpha_1\alpha_4=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 임을 기억하자)
 
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<math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>라는 조건으로부터, <math>\{1,4\}</math>와 <math>\{2,3\}</math> 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다.
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 &  3\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 &  1\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>
 
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그러나 여기서 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 &  4\end{pmatrix}</math>와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데,  <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 이므로)
 
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결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math>는 함수이므로, <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}^2</math>는 함수의 합성으로 이해할 수 있다.
 
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<math>\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math> 로 두면,<math>\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>,  <math>\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 &  2\end{pmatrix}</math>, <math>\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math> 가 되어, 모든 원소가 <math>\sigma</math>로부터 얻어지게 된다.
 
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즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, <math>\sigma</math>는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 [[순환군]]이 된다.
 
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또다른 예를 하나 더 생각해 보자.
 
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<math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math>의 네 해는 다음과 같이 주어진다.
 
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<math>\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
 
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<math>\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
 
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<math>\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
 
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<math>\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
 
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이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>
 
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그런데
 
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<math>x=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>x^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>
 
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<math>y=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 &  2\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>y^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>
 
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<math>z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>z^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>
 
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로 모두 제곱하면 항등원이 되어버리므로, 이 군은 절대로 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 같은 구조를 가질 수 없음을 알게 된다.
 
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방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>와 <math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math> 는 뭔가 질적으로 다르다는 것을 이 치환군은 말해주고 있다.
 
  
 
 
 
 

2012년 1월 11일 (수) 05:12 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸
  • \(n!\) 개의 원소가 존재함
  • 대칭군의 부분군은 치환군(permutation group)이라 불림

 

 

presentation
  • 생성원 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}\)
    여기서 \(\sigma_i=(i, i+1)\)
  • relations
    • \({\sigma_i}^2 = 1\)
    • \(\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1\)
    • \(\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\\)

 

 

방정식에의 응용[[10287402|]]

 

 

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