대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식

 

 

 

개요

• \(C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})\) conjugacy class in \(S_{m}\) where \(i_1+2i_2+\cdots mi_m=m\)
• 프로베니우스 공식
  \(\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\)
  \(\lambda\) 는 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)
  여기서 \(\chi_{\lambda}\) 는 character, \(S_{\lambda}\) 는 슈르 다항식(Schur polynomial)
  

 

 

예

• 대칭군 \(S_3\) 의 character table

 

	(3)	(2,1)	(1,1,1)
\((1^3)\)	1	2	1
\((1^1,2^1)\)	1	0	-1
\((3^1)\)	1	-1	1

 

\(S_{(3)}=x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right)\)

\(S_{(2,1)}=\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right)\)

\(S_{(1,1,1)}=x_1 x_2 x_3\)

 

\(S_{(3)}+2S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3\)

\(S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)\)

\(S_{(3)}-1S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=x_1^3+x_2^3+x_3^3\)

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

\(\prod_{j}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\)

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 지표, character - 대한수학회 수학용어집

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

•  
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations