"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5>개요</h5>
 
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* [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]에서 정의된 복소함수
 
*  무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br>
 
*  무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br>
 
* [[데데킨트 합]]
 
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<h5>모듈라 성질</h5>
 
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*  (정리)<br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>
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*  (정리)<br><math>\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)</math><br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>
 
*  더 일반적으로, <math>ad-bc=1</math>, <math>c>0</math>인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.<br><math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)</math><br> 여기서,<br><math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
 
*  더 일반적으로, <math>ad-bc=1</math>, <math>c>0</math>인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.<br><math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)</math><br> 여기서,<br><math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
  
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* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] 
 
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] 
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* 에타함수의 24제곱은 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수가 된다
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* 에타함수의 24제곱은 weight 12인 cusp 형식이다
  
 
<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
 
<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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<h5>관련도서</h5>
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* [http://books.google.com/books?id=lyqDSjLY6zEC Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory]<br>
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** Tom M. Apostol, 1990
  
 
*  도서내검색<br>
 
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2010년 1월 13일 (수) 19:17 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

모듈라 성질
  • (정리)
    \(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)\)
    \(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
    \(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
    여기서,
    \(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화
  • \(y>0\)가 매우 작을 때,
    \(\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

 

재미있는 사실

 

 

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사전 형태의 자료

 

 

관련도서

 

 

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