"드무아브르-라플라스 중심 극한 정리"의 두 판 사이의 차이
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">드무아브르의 중심극한정리</h5> | ||
+ | (정리) 드무아브르, 1730년대 | ||
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+ | 확률변수 X가 이항분포 B(n,1/2)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(n/2,n/4)를 따른다 | ||
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+ | 알기 쉬운 말로 표현하면, '''동전을 여러번 던져서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우를 셀 때, 동전을 많이 던질 경우 이것이 대체로 정규분포곡선을 따르게 된다는 것'''이다. | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">증명</h5> | ||
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+ | [[월리스 곱 (Wallis product formula)|월리스 곱]] | ||
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+ | <math><br />\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot = \frac{\pi}{2}.<br /></math> | ||
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+ | [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/686 ] | ||
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+ | 지금 우리의 목표는 동전을 몇 번 던질때, 몇 번 나올 확률이 얼마인지에 대한 근사식을 찾아내는 것이다. 이렇게 일반적인 문제의 해결은 다음으로 미루고, 일단 다음과 같은 구체적인 문제를 먼저 해결하자. | ||
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+ | (n이 충분히 클 때) 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 대략 <math>\frac{1}{\sqrt{\pi n}}</math> 로 주어진다. | ||
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+ | 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다. | ||
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+ | <math>\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}</math> | ||
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+ | 한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데, | ||
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+ | <math><br />p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br /></math> | ||
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+ | 따라서 | ||
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+ | <math><br />p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br /></math> | ||
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+ | 이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다. | ||
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+ | <math><br />\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br /></math> | ||
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+ | 그리고 이는 다음을 말해준다. | ||
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+ | <math><br />\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}<br /></math> | ||
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+ | 동전을 2n번 던져서, 앞면이 n+k 번 나올 확률은 다음과 같이 주어진다. | ||
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+ | <math><br />{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1}<br /></math> | ||
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+ | 앞서 구한 것을 이용하고자 비율을 구할 것이다. | ||
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+ | <math><br />{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1} = \frac{n! n!}{(n+k)!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{(n+k)(n+k-1)\cdots (n+1)}= \frac{1 (1-1/n)\cdots(1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}<br /></math> | ||
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+ | 이제 우변의 근사값을 구하기 위해, 로그를 사용하는데, 이 과정에서 로그에 대해 알아야 할 것은 [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/03/678 이전과 마찬가지]로 두 가지. 하나는 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾼다. 그리고 또 하나는 x가 충분히 작을 때, | ||
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+ | <math>\ln (1+x) \approx x</math> | ||
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+ | 라는 것이다. | ||
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+ | 우변에 로그를 취하게 되면, | ||
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+ | <math>\ln \frac{(1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}</math><math>= \ln { (1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n})- \ln {(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}</math> | ||
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+ | 이 되고, | ||
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+ | <math> \ln {(1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n)} \approx - (\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots +\frac{k-1}{n}) = - \frac{k(k-1)}{2n}</math> | ||
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+ | <math>\ln {(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)} \approx (\frac{k}{n}+\frac{k-1}{n}+\cdots +\frac{1}{n} = \frac{k(k+1)}{2n}</math> | ||
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+ | 따라서, 다시 지수함수를 취해주게 되면 다음과 같은 식이 얻어지게 된다. | ||
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+ | <math> \frac{1 (1-1/n)\cdots(1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)} \approx \frac{\exp(-\frac{k(k-1)}{2n})}{\exp(\frac{k(k+1)}{2n})} = \exp(-\frac{k^2}{n})</math> | ||
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+ | 지금까지 한 작업을 요약하자면, | ||
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+ | <math><br />{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1} \approx \exp(-\frac{k^2}{n})<br /></math> | ||
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+ | <math><br />{2n\choose n+k} \approx {2n\choose n}\exp(-\frac{k^2}{n})<br /></math> | ||
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+ | 따라서 동전을 2n번 던져서 앞면이 n+k번 나올 확률이란, | ||
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+ | <math>\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{k^2}{n})</math> | ||
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+ | 이 되는 것이다. | ||
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+ | 여기서 이제 n+k=x 로 두고, 2n번 던져서 x 번 나올 확률을 보게 되면 그 확률은 대략, | ||
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+ | <math> \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{(x-n)^2}{n})</math> | ||
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+ | 이 된다. 그리고 B(2n,1/2)의 평균과 표준편차 | ||
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+ | <math>\mu=n, \sigma^2=\frac{n}{2}</math> | ||
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+ | 를 이용하여, 중심극한정리가 예측했던 바를 써보면, | ||
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+ | <math>\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{\frac{n}{2}}\sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-n)^2}{2 \frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{(x-n)^2}{n})</math> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5> | ||
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+ | * [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br> | ||
+ | ** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5> | ||
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+ | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">많이 나오는 질문과 답변</h5> | ||
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+ | * 네이버 지식인<br> | ||
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+ | ** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query= | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 고교수학 또는 대학수학</h5> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5> | ||
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+ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
+ | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | ||
+ | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
+ | * http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q= | ||
+ | * http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7= | ||
+ | * 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q= | ||
+ | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | ||
+ | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5> | ||
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+ | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이미지 검색</h5> | ||
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+ | * http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search= | ||
+ | * http://images.google.com/images?q= | ||
+ | * [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com] | ||
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+ | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">동영상</h5> | ||
+ | |||
+ | * http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | ||
+ | * <br> |
2009년 7월 5일 (일) 02:10 판
드무아브르의 중심극한정리
(정리) 드무아브르, 1730년대
확률변수 X가 이항분포 B(n,1/2)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(n/2,n/4)를 따른다
알기 쉬운 말로 표현하면, 동전을 여러번 던져서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우를 셀 때, 동전을 많이 던질 경우 이것이 대체로 정규분포곡선을 따르게 된다는 것이다.
증명
\(<br/>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot = \frac{\pi}{2}.<br/>\)
지금 우리의 목표는 동전을 몇 번 던질때, 몇 번 나올 확률이 얼마인지에 대한 근사식을 찾아내는 것이다. 이렇게 일반적인 문제의 해결은 다음으로 미루고, 일단 다음과 같은 구체적인 문제를 먼저 해결하자.
(n이 충분히 클 때) 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 대략 \(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\) 로 주어진다.
동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다.
\(\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}\)
한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,
\(<br/>p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br/>\)
따라서
\(<br/>p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br/>\)
이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.
\(<br/>\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br/>\)
그리고 이는 다음을 말해준다.
\(<br/>\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}<br/>\)
동전을 2n번 던져서, 앞면이 n+k 번 나올 확률은 다음과 같이 주어진다.
\(<br/>{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1}<br/>\)
앞서 구한 것을 이용하고자 비율을 구할 것이다.
\(<br/>{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1} = \frac{n! n!}{(n+k)!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{(n+k)(n+k-1)\cdots (n+1)}= \frac{1 (1-1/n)\cdots(1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}<br/>\)
이제 우변의 근사값을 구하기 위해, 로그를 사용하는데, 이 과정에서 로그에 대해 알아야 할 것은 이전과 마찬가지로 두 가지. 하나는 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾼다. 그리고 또 하나는 x가 충분히 작을 때,
\(\ln (1+x) \approx x\)
라는 것이다.
우변에 로그를 취하게 되면,
\(\ln \frac{(1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}\)\(= \ln { (1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n})- \ln {(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}\)
이 되고,
\( \ln {(1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n)} \approx - (\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots +\frac{k-1}{n}) = - \frac{k(k-1)}{2n}\)
\(\ln {(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)} \approx (\frac{k}{n}+\frac{k-1}{n}+\cdots +\frac{1}{n} = \frac{k(k+1)}{2n}\)
따라서, 다시 지수함수를 취해주게 되면 다음과 같은 식이 얻어지게 된다.
\( \frac{1 (1-1/n)\cdots(1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)} \approx \frac{\exp(-\frac{k(k-1)}{2n})}{\exp(\frac{k(k+1)}{2n})} = \exp(-\frac{k^2}{n})\)
지금까지 한 작업을 요약하자면,
\(<br/>{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1} \approx \exp(-\frac{k^2}{n})<br/>\)
\(<br/>{2n\choose n+k} \approx {2n\choose n}\exp(-\frac{k^2}{n})<br/>\)
따라서 동전을 2n번 던져서 앞면이 n+k번 나올 확률이란,
\(\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{k^2}{n})\)
이 되는 것이다.
여기서 이제 n+k=x 로 두고, 2n번 던져서 x 번 나올 확률을 보게 되면 그 확률은 대략,
\( \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{(x-n)^2}{n})\)
이 된다. 그리고 B(2n,1/2)의 평균과 표준편차
\(\mu=n, \sigma^2=\frac{n}{2}\)
를 이용하여, 중심극한정리가 예측했던 바를 써보면,
\(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{\frac{n}{2}}\sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-n)^2}{2 \frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{(x-n)^2}{n})\)
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