"등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리"의 두 판 사이의 차이

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* <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 는 두 가지 경우가 가능.<br>
 
* <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 는 두 가지 경우가 가능.<br>
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** <math>\chi(3)=1</math> 인 경우.  <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math>
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** <math>\chi_0(3)=1</math> 인 경우.  <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math>
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** <math>\chi(3)=-1</math> 인 경우. <math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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** <math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우. <math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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* 자연수 위에 정의된 함수 f가 있어, <math>f\left(n\right) = \begin{cases} 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4} \\1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 라고 하자.
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* 자연수 위에 정의된 함수 <math>f</math> 가 있어,
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* <math>f(n)  = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} </math> ,<math>f(n)  = 0 \mbox{ if }  n\equiv 0,1,2 \pmod{4}</math>
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* <math>f\left(n\right) = \begin{cases} 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4} \\1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 라고 하자.
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* <math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math>
 
*  만약에 <math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}=\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4}  \frac{1}{p}</math>  가 발산함을 보일수 있다면, 4로 나누어 3이 남는 소수가 무한히 많음을 알 수 있다.<br>
 
*  만약에 <math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}=\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4}  \frac{1}{p}</math>  가 발산함을 보일수 있다면, 4로 나누어 3이 남는 소수가 무한히 많음을 알 수 있다.<br>
  

2009년 4월 16일 (목) 18:13 판

간단한 소개

(정리) 디리클레, 1837

   자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,…) 는 무한히 많은 소수를 포함한다

  • 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
  • 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
  •  h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.

 

 

증명의 재료
  • 푸리에 해석(군표현론) 과 L-function 의 아이디어를 결합시킴.

 

 

간략한 아이디어 소개
  •  
    \(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\) 임은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있음.
    • 이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
  • 라이프니츠 급수 \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\) 는 두 급수  \(\sum_{p \text{:prime } \equiv 1 \pmod 4} \frac{1}{p}\)과 \(\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p}\) 의 차가 유한하다는 것을 말해줌.
  • 두 사실을 결합하면, 4로 나누어 나머지가 1이 되는 소수와 3이 되는 소수가 모두 무한함을 알 수 있음.

 

군표현론
  • \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 는 두 가지 경우가 가능.
    • \(\chi_0(3)=1\) 인 경우.  \(1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty\)
    • \(\chi_1(3)=-1\) 인 경우. \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)
  • 자연수 위에 정의된 함수 \(f\) 가 있어,
  • \(f(n) = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \) ,\(f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}\)
  • \(f\left(n\right) = \begin{cases} 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4} \\1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 라고 하자.
  • \(f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}\)
  • 만약에 \(\sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}=\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p}\)  가 발산함을 보일수 있다면, 4로 나누어 3이 남는 소수가 무한히 많음을 알 수 있다.
  • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
  • 순환군의 표현론 참조
  •  

 

L-함수
  • 리만제타함수의 일반화
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
  • \(L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\)

 

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})<br/>\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)

 

 

 

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