"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이

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*  수체(number field)K의 대수적정수 <math>\mathfrak{O}_K</math> unit의 rank 에 대한 정리<br>
 
*  수체(number field)K의 대수적정수 <math>\mathfrak{O}_K</math> unit의 rank 에 대한 정리<br>
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* <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> 인 경우,  <math>\mathfrak{O}_K</math><br>
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* <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> 인 경우,  <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 <math>r_1+r_2-1</math>이다<br>
  
 
 
 
 
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* <math>[K : \mathbb{Q}] =2</math>, <math>r_1=2, r_2=0</math>이므로, <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 1이다<br>
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* <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 fundamental unit<br>
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* [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]<br>
 
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>
 
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>
  
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<math>h_K</math> 는 class number, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit
 
<math>h_K</math> 는 class number, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit
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* [[데데킨트 제타함수]]<br><math>[F : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math><br><math>\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}</math><br> 여기서 <math>\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)</math> 는 Bloch group <math>B(F)\otimes \mathbb{Q}</math>의 Q-basis<br> D는 [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|Bloch-Wigner dilogarithm]] 함수<br>
  
 
 
 
 

2010년 3월 25일 (목) 12:53 판

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개요
  • 수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
  • \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우,  \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다

 

 

 

 

 

실 이차수체의 경우

(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)

\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit

 

 

 

higher regulator
  • 데데킨트 제타함수
    \([F : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
    \(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
    여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(F)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
    D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수

 

 

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