"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 13일 (화) 12:53 판

수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
\([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다

\([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 1이다
\(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 fundamental unit이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)

\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit

데데킨트 제타함수
\([F : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
\(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(F)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수

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 *  수체(number field)K의 대수적정수 <math>\mathfrak{O}_K</math> unit의 rank 에 대한 정리<br>
 * <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> 인 경우,  <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 <math>r_1+r_2-1</math>이다<br>
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 * <math>[K : \mathbb{Q}] =2</math>, <math>r_1=2, r_2=0</math>이므로, <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 1이다<br>
-* <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 fundamental unit<br>
+* <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 fundamental unit이라 하며 [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]의 해를 구하면 얻어진다<br>
-* [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]<br>
 * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>