"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이

2012년 5월 28일 (월) 17:20 판

수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
\([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다

\([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 1이다
\(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 fundamental unit이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)

\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit (실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 참조)

원분체 (cyclotomic field)
\(\mathbb{Q}\left(\zeta _7\right)\) 의 fundamental units : \(1+\zeta _7\)와 \(1+\zeta _7+\zeta _7^2\)
regulator 는 행렬
\(\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)\) 의 minor를 계산하여 얻을 수 있으며,

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+<h5 class="section" style="line-height: 2em; margin: 0px;">원분체의 예</h5>
+* [[원분체 (cyclotomic field)]]<br>
+* <math>\mathbb{Q}\left(\zeta _7\right)</math> 의 fundamental units :  <math>1+\zeta _7</math>와 <math>1+\zeta _7+\zeta _7^2</math><br>
+*  regulator 는 행렬<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\  \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)</math> 의 minor를 계산하여 얻을 수 있으며,<br>