"라마누잔의 세타함수"의 두 판 사이의 차이

2011년 6월 22일 (수) 05:01 판

\(f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}\)

자코비 삼중곱

\(f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty\)

\(\phi(q):=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty } q^{n^2}=(-q;q^2)^{2}_{\infty} \left(q^2;q^2\right){}_{\infty }\)

\(\psi(q):=f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty } q^{n(n+1)/2}=\frac{\left(q^2;q^2\right){}_{\infty }}{\left(q;q^2\right){}_{\infty }}\)

\(f(-q):=f(-q,-q^{2})=(q;q)_{\infty }\)

\(\frac{f(-q^{2},-q^{2})}{f(-q)}=\frac{\left(q^2;q^4\right)^2_{\infty }\left(q^4;q^4\right){}_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}\)

\(f(-q)=(q;q)_{\infty}\)

\(\phi(-q)=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\)

\(\psi(-q)=\frac{(q^{2};q^{2})_{\infty}}{(-q;q^{2})_{\infty}}\)

\(\chi(-q)=(q;q^{2})_{\infty}\)

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 <math>f(-q):=f(-q,-q^{2})=(q;q)_{\infty }</math>
-<math>\chi(-q):=\frac{f(-q^{2},-q^{2})}{f(-q)}=\frac{\left(\left(q^2;q^4\right){}_{\infty }\right){}^2 \left(q^4;q^4\right){}_{\infty }}{}</math>
+<math>\frac{f(-q^{2},-q^{2})}{f(-q)}=\frac{\left(q^2;q^4\right)^2_{\infty }\left(q^4;q^4\right){}_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}</math>
+<h5>메모</h5>
 <math>f(-q)=(q;q)_{\infty}</math>