"라플라스-벨트라미 연산자"의 두 판 사이의 차이
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
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<h5>제1기본형식을 이용한 표현</h5> | <h5>제1기본형식을 이용한 표현</h5> | ||
| − | * <math> | + | * 리만다양체의 메트릭이 <math>g_{ij}</math>로 주어지는 경우 |
* <math>(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}</math> | * <math>(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}</math> | ||
| − | * 라플라시안<br><math>\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}</math><br><math>F=0</math>인 경우<br><math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math><br> | + | * 라플라시안<br><math>\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}</math><br> |
| + | * 곡면의 경우 <math>E=g_{11}</math>, <math>F=g_{12}=g_{21}</math>, <math>G=g_{22}</math> | ||
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| + | * <math>F=0</math>인 경우<br><math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math><br> | ||
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<h5>사전 형태의 자료</h5> | <h5>사전 형태의 자료</h5> | ||
| − | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자] |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator | * http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry | * http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry | * http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry | ||
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* http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html[http://www.wolframalpha.com/input/?i=laplacian ] | * http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html[http://www.wolframalpha.com/input/?i=laplacian ] | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
2011년 12월 4일 (일) 04:22 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
제1기본형식을 이용한 표현
- 리만다양체의 메트릭이 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
- \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
- 라플라시안
\(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\) - 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
- \(F=0\)인 경우
\(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)
표준좌표계의 경우
\(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
극좌표계의 경우
- 극좌표계
- \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)
\(\sqrt{EG}=r\)
\(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)
구면좌표계의 경우
- 구면좌표계
\(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
- http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html[1]
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서
- 도서내검색
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관련기사
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