"로그 사인 적분 (log sine integrals)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
23번째 줄: 23번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">special values와 생성함수</h5>
+
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">special values의 생성함수</h5>
  
 
*  정의<br><math>\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
 
*  정의<br><math>\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
−
*  생성함수<br><math>I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)</math><br>
+
*  생성함수<br><math>I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)</math><br><math>I(x)=\frac{\pi\Gamma(1+x)}{(\Gamma(1+\frac{1}{2}x))^2}</math><br>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">점화식</h5>
 +
 
 +
<math>\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m[\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-(1-2^{2-m})\zeta(m-1)\operatorname{Ls}_{3}(\pi)/2!+(1-2^{3-m})\zeta(m-2)\operatorname{Ls}_{4}(\pi)/3!+(-1)^{m}\cdots+(1-1/2})\zeta(2)\operatorname{Ls}_{m}(\pi)/(m-1)!]</math>
  
 
 
 
 
35번째 줄: 41번째 줄:
  
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">special values</h5>
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">special values</h5>
 +
 +
<math>\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}</math>
  
 
<math>\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}</math>
 
<math>\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}</math>

2010년 6월 13일 (일) 15:30 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

\(\operatorname{Ls}_{a+b,a}(\theta)=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx\)

  • 클라우센 함수의 일반화로 볼 수 있다
    \(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

 

 

\(\int_{0}^{1-e^{i\theta}}\log^{n-1}z\frac{dz}{1-z}=-i\int_{0}^{\theta}(\frac{i}{2}(x-\pi)+\log|2\sin \frac{x}{2}|)^{n-1}\,dx \)\(=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx\)

 

 

special values의 생성함수
  • 정의
    \(\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)
  • 생성함수
    \(I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)\)
    \(I(x)=\frac{\pi\Gamma(1+x)}{(\Gamma(1+\frac{1}{2}x))^2}\)

 

점화식

\(\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m[\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-(1-2^{2-m})\zeta(m-1)\operatorname{Ls}_{3}(\pi)/2!+(1-2^{3-m})\zeta(m-2)\operatorname{Ls}_{4}(\pi)/3!+(-1)^{m}\cdots+(1-1/2})\zeta(2)\operatorname{Ls}_{m}(\pi)/(m-1)!]\)

 

 

 

special values

\(\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}\)

\(\int_{0}^{\pi/3}\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{7\pi^3}{108}\)

\(\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=로그_사인_적분_(log_sine_integrals)&oldid=8264"