로바체프스키 함수

개요

• 다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
• 로바체프스키 함수의 정의
  \(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\)
  로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다
  
• 클라우센 함수(Clausen function) 와의 관계
  \(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)
  

dilogarithm 함수와의 관계

• dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
• \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
  \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  
• \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때,
  \(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\)
  

\(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\)

그래프

• \(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가짐
• \(\theta=\pi/6+n\pi\)일 때 최대값을 가진다
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멱급수 전개

\(0 < \theta <\pi\) 일 때,

\(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)

\(B_{2n}\)은 베르누이 수

덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

(증명)

\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)

를 얻는다.

\(n=2\) 일때,

\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)

\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi)+C\)

\(\theta=0\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)

두 식으로부터

\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0)\)을 얻는다.

한편, \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.

3차원 쌍곡기하학과의 관계

• 이면각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어진 ideal tetrahedron \(T\)에 대하여, 다음이 성립
  
  • \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
    
  • \(\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)\)
    
• 이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각
  

special values

• \(2\Lambda(\frac{\pi}{6})=Cl_2(\frac{\pi}{3})\) http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
  
• 
  

역사

• 수학사연표

관련된 항목들

• Dilogarithm
• 쌍곡기하학

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMWQ5NGY3YWEtYTQ3MC00YzE5LTgwOWYtZmYxMDc1NzcwOGM1&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

• The Newest Inductee in the Number Hall of Fame
  
  • Colin C. Adams, Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 5 (Dec., 1998), pp. 341-349
• Hyperbolic geometry: The first 150 years
  
  • John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

관련도서

• Foundations of hyperbolic manifolds
  
  • John G. Ratcliffe
• Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century.
  
  • Borwein, J. and Bailey, D., Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.
• The Geometry and Topology of Three-Manifolds
  
  • W. Thurston
  • Chapter 7 (pdf)