"르장드르 부호와 자코비 부호"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 2일 (금) 08:41 판

이차잉여의 상호법칙 을 기술하기 위한 필요에서 탄생, 정수론에서 중요한 역할
정수 a와 홀수인 소수 p 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)
자코비 부호는 르장드르 부호의 일반화이다
정수 a와 양수인 홀수 n 에 대하여, 자코비 부호를 다음과 같이 정의한다
\(\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}\mbox{ where } n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\)
자코비 부호 \(\chi(a)=(\tfrac{a}{n})\) 는 모듈로 n 에 대한 디리클레 캐릭터 가 된다

\(\left(\tfrac{a}{n}\right)=-1\) 이면 a는 모듈로 n에 대한 비이차잉여 이다

a가 모듈로 n에 대한 이차잉여 이면 \(\left(\tfrac{a}{n}\right)=1\) 이 성립한다

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-==관련논문==
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://www.ams.org/mathscinet
-* http://dx.doi.org/