"매듭이론 (knot theory)"의 두 판 사이의 차이

2012년 10월 23일 (화) 01:21 판

개요

매듭(knot)
- 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
고리(link)
동위(isotopy)
- 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
매듭 diagram
라이데마이스터 변형
20세기말에 통계역학, 양자군, 양자장론과의 관계가 발견되어 큰 발전
중요 미해결 문제
- Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”

중요한 문제

주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
매듭의 분류

매듭과 고리의 예

trivial 매듭 (unknot)
호프 링크 (Hopf link)
화이트헤드 링크(Whitehead link)
8자매듭(figure eight)
세잎매듭(trefoil)
고르디우스의 매듭(Goardian Knot)
[/pages/5098745/attachments/2885901 _2010_01_29_10136.jpg]

매듭 diagram

3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐

라이데마이스터 변형

매듭 diagram 에 가하는 변형
매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다
매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용
라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop
라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거
라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동


라이데마이스터 변형 I	라이데마이스터 변형 II	라이데마이스터 변형 III

불변량

동위관계에 있는 다항식에 대해서는 같은 값을 주는 양
동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다
서로 다른 매듭을 구분할 수 있는 더 강력한 불변량을 찾는 것은 매듭이론의 중요한 주제이다
알렉산더-콘웨이 다항식
HOMFLY 다항식
존스 다항식
바실리예프 다항식
실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다

실타래 관계 (skein relation)

나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다
유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 \(L_{+},L_{-},L_{0}\) 을 정의한다
Skein (HOMFLY).svg

다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다
불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다

알렉산더-콘웨이 다항식

각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 \(\nabla(\cdot)\)
실타래 관계(skein relation)
\(\nabla(O) = 1\)
\(\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)\)

존스 다항식

각 매듭에 대해 정의되는 \(t^{1/2}\)를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 \(V(\cdot)\)
실타래 관계(skein relation)
\(V(O) = 1\)
\((t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})\)

홈플라이(HOMFLY) 다항식

HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다
알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화
매듭에 정의되는 이변수다항식 \(P(\cdot)\)
실타래 관계

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=매듭이론

역사

1984년 존스 다항식
1988년 위튼이 존스 다항식을 양자장론의 틀로 설명[Witten1989]
1990년 존스, 위튼 필즈메달 수상
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=knot+theory
수학사연표

메모

수학용어번역

사전 형태의 자료

동영상 강연

Knots and Quantum Theory
- Edward Witten, December 15, 2010
- 대중강연

블로그

Jones’ Polynomial
- Tangled web, 2009-08-06
구글 블로그 검색
- http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
네이버 오늘의과학
수학동아
Mathematical Moments from the AMS
BetterExplained

"매듭이론 (knot theory)"의 두 판 사이의 차이

2012년 10월 23일 (화) 01:21 판

목차

개요

중요한 문제

매듭과 고리의 예

매듭 diagram

라이데마이스터 변형

불변량

실타래 관계 (skein relation)

알렉산더-콘웨이 다항식

존스 다항식

홈플라이(HOMFLY) 다항식

재미있는 사실

역사

메모

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수학용어번역

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@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
-* [[매듭이론 (knot theory)]]
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 *  매듭(knot)<br>
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 ** Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”
-<h5>중요한 문제</h5>
+==중요한 문제==
 * 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
 * 매듭의 분류
-<h5>매듭과 고리의 예</h5>
+==매듭과 고리의 예==
 * trivial 매듭 (unknot)
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 * [http://www.warwick.ac.uk/%7Emaaac/gordian.html 고르디우스의 매듭(Goardian Knot)]<br>[/pages/5098745/attachments/2885901 _2010_01_29_10136.jpg]<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">매듭 diagram</h5>
+==매듭 diagram==
-*  3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐<br>
+*  3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라이데마이스터 변형</h5>
+==라이데마이스터 변형==
 *  매듭 diagram 에 가하는 변형<br>
-*  매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다<br>
+*  매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다<br>
 *  매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용<br>
 *  라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop<br>
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 *  라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동<br>
 {|
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 |}
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">불변량</h5>
+==불변량==
 *  동위관계에 있는 다항식에 대해서는 같은 값을 주는 양<br>
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 *  실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">실타래 관계 (skein relation)</h5>
+==실타래 관계 (skein relation)==
 *  나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다<br>
-*  유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 <math>L_{+},L_{-},L_{0}</math> 을 정의한다<br>[[|Skein (HOMFLY).svg]]
+*  유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 <math>L_{+},L_{-},L_{0}</math> 을 정의한다<br>[[Skein (HOMFLY).svg (knot theory)|Skein (HOMFLY).svg]]
 <br>
-*  다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다<br>
+*  다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다<br>
 *  불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">알렉산더-콘웨이 다항식</h5>
+==알렉산더-콘웨이 다항식==
-*  각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 <math>\nabla(\cdot)</math><br>
+*  각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 <math>\nabla(\cdot)</math><br>
 *  실타래 관계(skein relation)<br><math>\nabla(O) = 1</math><br><math>\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)</math><br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">존스 다항식</h5>
+==존스 다항식==
-*  각 매듭에 대해 정의되는 <math>t^{1/2}</math>를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 <math>V(\cdot)</math><br>
+*  각 매듭에 대해 정의되는 <math>t^{1/2}</math>를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 <math>V(\cdot)</math><br>
 *  실타래 관계(skein relation)<br><math>V(O) = 1</math><br><math>(t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})</math><br>
-*   <br>
+*   <br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">홈플라이(HOMFLY) 다항식</h5>
+==홈플라이(HOMFLY) 다항식==
-*  HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다<br>
+*  HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다<br>
 *  알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화<br>
-*  매듭에 정의되는 이변수다항식 <math>P(\cdot)</math><br>
+*  매듭에 정의되는 이변수다항식 <math>P(\cdot)</math><br>
-*  실타래 관계<br>  <br>
+*  실타래 관계<br>  <br>
-<h5>재미있는 사실</h5>
+==재미있는 사실==
 * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 * 네이버 지식인 [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EB%A7%A4%EB%93%AD%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=매듭이론]
-<h5>역사</h5>
+==역사==
 * 1984년 존스 다항식
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 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=knot+theory
 * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 *
-<h5>메모</h5>
+==메모==
 * http://www.ams.org/featurecolumn/archive/knots3.html
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 * [http://www.cs.toronto.edu/%7Emackay/conway.pdf http://www.cs.toronto.edu/~mackay/conway.pdf]
-<h5>관련된 항목들</h5>
+==관련된 항목들==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+==수학용어번역==
-* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
+* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
+* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=isotopy
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 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-<h5>사전 형태의 자료</h5>
+==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%A4%EB%93%AD_%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://ko.wikipedia.org/wiki/매듭_이론]
@@ 223번째 줄: / 215번째 줄: @@
 ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
-<h5>동영상 강연</h5>
+==동영상 강연==
 * [http://video.ias.edu/witten-friends Knots and Quantum Theory]<br>
@@ 233번째 줄: / 225번째 줄: @@
 ** 대중강연
-<h5>관련논문과 소개글</h5>
+==관련논문과 소개글==
 * [http://math.berkeley.edu/%7Evfr/jones.pdf The Jones Polynomial]<br>
@@ 246번째 줄: / 238번째 줄: @@
 **  Kauffman, 1989<br>
 * '''[Witten1989]'''[http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.cmp/1104178138 Quantum field theory and the Jones polynomial]<br>
-** Edward Witten, Comm. Math. Phys. Volume 121, Number 3 (1989), 351-399
+** Edward Witten, Comm. Math. Phys. Volume 121, Number 3 (1989), 351-399
 * [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102650387 On knot invariants related to some statistical mechanical models.]<br>
 ** V. F. R. Jones, 1989
 * [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552338 A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras]<br>
-** Vaughan F. R. Jones, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 12, Number 1 (1985), 103-111.
+** Vaughan F. R. Jones, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 12, Number 1 (1985), 103-111.
 * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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 * http://dx.doi.org/
-<h5>관련도서</h5>
+==관련도서==
 * [http://books.google.com/books?id=BewrZeACVKcC Knots: mathematics with a twist]<br>
@@ 276번째 줄: / 268번째 줄: @@
 ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
-<h5>관련링크와 웹페이지</h5>
+==관련링크와 웹페이지==
 * [http://www.knotplot.com/ The KnotPlot Site]
-<h5>관련기사</h5>
+==관련기사==
 * [http://www.sciencenews.org/view/generic/id/38237/title/Math_Trek__Unknotting_knot_theory Unknotting knot theory]<br>
@@ 295번째 줄: / 287번째 줄: @@
 ** 이광재, 광주드림, 2009-3-4
 * [http://www.nytimes.com/1989/02/21/science/mathematicians-link-knot-theory-to-physics.html Mathematicians Link Knot Theory to Physics]<br>
-** GINA KOLATA, NYT, February 21, 1989
+** GINA KOLATA, NYT, February 21, 1989
 *  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EB%A7%A4%EB%93%AD%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=매듭이론]
@@ 301번째 줄: / 293번째 줄: @@
 ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-<h5>블로그</h5>
+==블로그==
 * [http://tangledw3b.wordpress.com/2009/08/06/jones-polynomial/ Jones’ Polynomial]<br>
@@ 311번째 줄: / 303번째 줄: @@
 *  구글 블로그 검색<br>
 ** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 * [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 * [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 * [http://betterexplained.com/ BetterExplained]