"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

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<h5>겔퐁드-슈나이더 정리</h5>
 
<h5>겔퐁드-슈나이더 정리</h5>
  
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와 <math>\beta</math> 가  (with <math>\alpha \ne 0</math> and <math>\log \alpha</math> any non-zero logarithm of <math>\alpha</math>), and if <math>\beta</math> is not a [http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number rational number], then any value of <math>\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}</math>is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number transcendental number].
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<math>\alpha \ne 0</math>,복소수 <math>\alpha</math>와  <math>\beta</math> 가 대수적수이면(
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, <math>\beta\notin \mathbb{Q}</math>) 
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<math>\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}</math> 는 초월수이다.  
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
 
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<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math>
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<math>\alpha \ne 1</math>

2009년 6월 26일 (금) 12:19 판

간단한 소개
  • 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
    • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
      \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
    • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
  • 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

 

겔퐁드-슈나이더 정리

\(\alpha \ne 0\),복소수 \(\alpha\)와  \(\beta\) 가 대수적수이면(

, \(\beta\notin \mathbb{Q}\)) 

 

\(\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}\) 는 초월수이다.  

 

Comments

  • The values of\(\alpha\) and \(\beta\)are not restricted to real numbers; all complex numbers are allowed.
  • In general, \(\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}\) is multivalued, where "log" stands for the complex logarithm. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
  • An equivalent formulation of the theorem is the following: if\(\alpha\)and \(\gamma\) are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of\(\alpha\), then\((\log \gamma)/(\log \alpha)\)is either rational or transcendental.
  • If the restriction that\(\beta\)be algebraic is removed, the statement does not remain true in general (choose \(\alpha=3\) and \(\beta=\log 2/\log 3\), which is transcendental, then \(\alpha^{\beta}=2\) is algebraic). A characterization of the values for\(\alpha\) and \(\beta\)which yield a transcendental \(\alpha^{\beta}\) is not known.

 

(wikipedia 의 Gelfond–Schneider theorem 페이지에서)

 

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\(\beta\notin \mathbb{Q}\)

\(\alpha \ne 1\)

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