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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
 
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* [[베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리|베일리 쌍(Bailey pair)]]
  
 
 
 
 
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*  q-series 항등식을 증명하는 중요한 테크닉
  
 
 
 
 
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*  켤레 베일리 쌍  <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math><br><math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}</math><br>
 
*  켤레 베일리 쌍  <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math><br><math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}</math><br>
 
*  베일리 쌍을 얻기 위해 [[합공식의 q-analogue]] 들의 특별한 경우들을 많이 이용함<br>
 
*  베일리 쌍을 얻기 위해 [[합공식의 q-analogue]] 들의 특별한 경우들을 많이 이용함<br>
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*  베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다<br>
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*  a=1 에 대한 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍<br><math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math><br><math>\delta_n=q^{n^2}</math><br><math>\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}</math><br>
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*  네 수열<math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>, <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math> 이<br><math>\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}</math>,  <math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}</math><br> 이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}</math><br>
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*  아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, [[로저스-라마누잔 항등식]] 을 증명할 수 있다<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}</math><br>
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*  다음과 같이 u,v 를 선택한다<br><math>u_{n}=\frac{1}{(q)_n}</math> ,<math>v_{n}=\frac{1}{(x)_n}</math>, 여기서 <math>x=aq</math><br>
 
  
 
 
 
 
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*  베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다<br>
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*  네 수열<math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>, <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math> 이<br><math>\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}</math>,  <math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}</math><br> 이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}</math><br>
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*  다음과 같이 u,v 를 선택한다<br><math>u_{n}=\frac{1}{(q)_n}</math> ,<math>v_{n}=\frac{1}{(x)_n}</math>, 여기서 <math>x=aq</math><br>
  
 
 
 
 

2011년 11월 12일 (토) 06:34 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  •  q-series 항등식을 증명하는 중요한 테크닉

 

 

 

베일리 쌍(Bailey pair)
  • 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다
    \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
  • 켤레 베일리 쌍  \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)
    \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\)
  • 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함

 

 

 

왜 베일리 쌍을 공부하나?
  • 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
    • 베일리 보조정리를 이용하는 경우
    • 베일리 쌍의 정의로부터
      \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)

 

 

베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍의 예
  • a=1 에 대한 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍
    \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)
    \(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
    \(\delta_n=q^{n^2}\)
    \(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
  • 아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, 로저스-라마누잔 항등식 을 증명할 수 있다
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}\)

 

 

베일리 보조 정리
  • 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
  • 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이
    \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\),  \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
    이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
  • 다음과 같이 u,v 를 선택한다
    \(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문

 

 

관련도서
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