벤포드의 법칙

3780379 와 관련된 내용. 제가 아는 것은 여기에 정리합니다.

 

편집자 노트에서, 한 토픽에 여러 사람이 관여하는 경우에는, 사람-토픽 대신 토픽-사람 배열의 효과적일 수 있을 것 같습니다.

하지만 그렇게 많은 사람이 한 토픽에 관심을 가지지는 않을 것 같기도 하고... 음 잘 모르겠네요. :D

일단 그냥 각자 작업을 

 

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벤포드 법칙

 

[1]

미국의 수학자이자 천문학자인 Simon Newcomb 은, 다른 사람과 함께 쓰던 로그책에서 책의 앞부분이 훨씬 낡아 있는 것을 눈치채었다.

로그표는 수가 커지는 순서대로 배열되어 있다. 그러므로 위 결과는, 실제 계산에서는 맨 앞자리수가 큰 숫자보다, 맨 앞자리수가 작은 수가 더 많이 쓰인다는 사실을 말해 준다.

통상의 계산에서, 계산량이 많아지면 모든 크기의 수가 고르게 사용될텐데, 왜 이 수들의 최대 유효숫자는 이렇지 않을까?

Newcomb 은 다음과 같은 경험법칙을 얻는다.

• 첫 유효숫자 \(d\) 로 시작하는 수의 비율은, (10진법에서) 1/9 가 아니라 \(\log(1 + 1/d)\) 와 같이 나타난다
  

이 사실을 그는 American Journal of Mathematics 에 간략하게 실었으나, 수학적 분석이 없었으므로 별 주목을 받지 못했음. (1881)

(실제로 AJM 에서 저널을 검색해 볼 수 있으면 좋겠습니다)

\(d\)	직관적 확률	경험적 확률
\(1\)	\(0.111\cdots\)	\(0.30103\)
\(2\)	\(0.111\cdots\)	\(0.17609\)
\(3\)	\(0.111\cdots\)	\(0.12494\)
\(4\)	\(0.111\cdots\)	\(0.09691\)
\(5\)	\(0.111\cdots\)	\(0.07918\)
\(6\)	\(0.111\cdots\)	\(0.06695\)
\(7\)	\(0.111\cdots\)	\(0.05799\)
\(8\)	\(0.111\cdots\)	\(0.05115\)
\(9\)	\(0.111\cdots\)	\(0.04578\)

(출처 필요)

 

[2]

1938 년 미국 GE 의 물리학자 Frank Benford 가, 위의 Newcomb 가 발견한 것과 정확히 같은 양상 - 즉 곧 첫 유효숫자의 분포는 \(\log(1 + 1/d)\) 와 같이 나타난다 - 을 재발견했다.

벤포드는 경험적 검증을 위해, 강의 넓이, 사망률, 야구 통계 등 전혀 무관한 임의의 20000 여개의 숫자들를 분석했다. 결과는 경험 법칙을 지지하는 방향으로 나타났다. (출처 필요)

 

[3]

많은 숫자의 나열이 벤포드 법칙을 따르지는 않는다. 극도로 임의적이거나, 정규분포나 균일 분포를 따르는 숫자의 나열이 그러하다.

자료가 벤포드 법칙을 따르려면 꼭 들어맞는 구조를 갖추어야 할 것으로 보인다.

 

어떤 분포를 임의로 골라서, 이 분포들에서 임의로 자료를 모으면, 각 분포들 자체는 그렇지 않더라도, 이렇게 결합된 자료는 벤포드 법칙을 따른다는 것을 1996년 힐이 보였다. (출처 필요)

[4]

단위 불변성은 벤포드 법칙을 함축한다.

 

[5]

벤포드 법칙을 통해 숫자들의 패턴을 분석하면, 숫자 조작, 사기, 오류, 자료에 내재된 편견 등을 검증할 수 있다.