"블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이
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2012년 5월 29일 (화) 03:22 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm)
\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\) - 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함
\(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) , \(z\in\mathbb{C}\) - 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
- 복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
- 대수적 K-이론에서 수체의 K_3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
- 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조
그래프와 등고선
항등식
\(D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\)
- Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
\(\mbox{Li}_2(x)\),\(\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
five-term relation
\(D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\)
- Dilogarithm 함수의 경우
\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)
데데킨트 제타함수와의 관계
- \(s=2\) 에서의 값
복소이차수체의 데데킨트 제타함수
\(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
\(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612–624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591
- Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields
관련도서
- Spencer Bloch, Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves http://books.google.com/books/about/Higher_Regulators_Algebraic_K_Theory_and.html?id=D7BDMNbxM1IC
- Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2