"블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 25일 (토) 15:27 판

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Bloch-Wigner dilogarithm

개요

다이로그 함수(dilogarithm)
\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)
다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함
\(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) , \(z\in\mathbb{C}\)
복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
대수적 K-이론에서 수체의 K_3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조

그래프와 등고선

복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
[1]
다음과 같은 등고선을 얻는다
[2]

[3]

[4]

항등식

\(D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\)

Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
\(\mbox{Li}_2(x)\),\(\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)

five-term relation

\(D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\)

Dilogarithm 함수의 경우

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)

클라우센 함수와의 관계

\(z=e^{i\theta}\) 일 때, \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) 의 값은 클라우센 함수(Clausen function) 로 표현
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

데데킨트 제타함수와의 관계

데데킨트 제타함수\(s=2\) 에서의 값을 표현하는데 나타남
복소이차수체의 데데킨트 제테함수 의 경우
[[데데킨트 제타함수|]]
\(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
\(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)

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 <math>\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})</math>
+<h5>클라우센 함수와의 관계</h5>
+* <math>z=e^{i\theta}</math> 일 때, <math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math> 의 값은 [[클라우센 함수(Clausen function)]]  로 표현<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">데데킨트 제타함수와의 관계</h5>
-* <math>s=2</math> 에서의 값<br> 복소이차수체의 [[데데킨트 제타함수]]<br><math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math><br><math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br>
+* [[데데킨트 제타함수]]<math>s=2</math> 에서의 값을 표현하는데 나타남<br>
+* [[복소이차수체의 데데킨트 제테함수]] 의 경우<br>[[데데킨트 제타함수|]]<br><math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math><br><math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br>
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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
-Note that
-the Clausen function and the Bloch-Wigner dilogarithms are same if <math>z=e^{i\theta}</math>
-<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math>
-<math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math>

"블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 25일 (토) 15:27 판

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

그래프와 등고선

항등식

five-term relation

클라우센 함수와의 관계

데데킨트 제타함수와의 관계

역사

메모

관련된 항목들

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