"사각 피라미드 퍼즐"의 두 판 사이의 차이

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*  공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?<br>[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]<br>
 
*  공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?<br>[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]<br>
 
* 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
 
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** Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
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** [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
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*  수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다<br><math>1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2</math><br>
 
*  수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다<br><math>1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2</math><br>
 
*  답은 두 쌍이 존재<br><math>(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)</math><br>
 
*  답은 두 쌍이 존재<br><math>(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)</math><br>
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* Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
 
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* [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
 
  
 
 
 
 
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<h5>정수계수 타원곡선으로의 변형</h5>
 
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* <math>y^2=x^3-36x</math> 의 정수해를 찾는 문제로의 변형<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 에서 <math>x=\frac{x_1-6}{12}</math>, <math>y=\frac{y_1}{72}</math> 로 치환하면, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 를 얻는다.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 의 정수해는 <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 에서도 정수해에 대응되므로, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 정수해를 모두 찾으면 된다.<br><math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 모든 정수해는 <math>(x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다. '''[DP2009]'''<br> 이 중에서 <math>y_1</math>이 72의 배수가 되는 경우는 <math>(18,\pm72), (294,\pm5040)</math><br>
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<math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 의 정수해는 <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 에서도 정수해에 대응되므로, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 정수해를 모두 찾으면 된다.
 
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<math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 모든 정수해는 <math>(x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다. [Draziotis and Poulakis]
 
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이 중에서 <math>y_1</math>이 72의 배수가 되는 경우는 <math>(18,\pm72), (294,\pm5040)</math>
 
  
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* 위에서 찾은 정수해는 타원곡선 <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 rank가 1이상임을 증명한다
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* 위에서 찾은 정수해는 타원곡선<math>y^2=x^3-36x</math>의 rank가 1이상임을 증명한다
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* 이는 또한 6이 [[congruent number 문제]]
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* 이는 또한 6이 [[congruent number 문제|congruent number]] 임을 증명한다
  
 
 
 
 
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<h5>관련논문</h5>
 
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* [http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2008.07.002 Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)]<br>
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* '''[DP2009]'''[http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2008.07.002 Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)]<br>
 
** Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
 
** Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
 
* [http://www.ams.org/mcom/2006-75-255/S0025-5718-06-01841-2/home.html Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$]<br>
 
* [http://www.ams.org/mcom/2006-75-255/S0025-5718-06-01841-2/home.html Practical solution of the Diophantine equation $ y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)$]<br>

2010년 1월 14일 (목) 15:20 판

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개요
  • 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?
    [/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]
  • 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
    • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
    • 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
      \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

 

 

 

티오판투스 방정식
  • 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
    \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  • 답은 두 쌍이 존재
    \((n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)\)

 

 

정수계수 타원곡선으로의 변형
  • \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 에서도 정수해에 대응되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 모두 찾으면 된다.
    \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
    이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
  • 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
  • 이는 또한 6이 congruent number 임을 증명한다

 

 

부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

 

 

메모

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료

 

관련논문

 

 

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