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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
 
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* [[삼각함수의 값]]
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>x=a\pi</math>일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 중요
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* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>x=a\pi</math>일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음
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* [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 해와 깊은 관련이 있음
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* [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 해와 깊은 관련이 있어서, 방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음
 
*  가령 [[가우스와 정17각형의 작도]]는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제<br><math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+  \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math><br>
 
*  가령 [[가우스와 정17각형의 작도]]는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제<br><math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+  \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math><br>
  
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<h5>문제의 수준</h5>
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<h5>구하는 방법의 분류</h5>
  
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* 중학교 수준에서는 이등변삼각형과 정삼각형에 대해 [[피타고라스의 정리]]를 사용하여 몇 가지 경우를 계산할 수 있음
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* 더 일반적으로는 <math>x^n-1=0</math> 방정식의 복소수해를 구하여 실수부와 허수부로부터 <math>\theta=m\pi/n</math>인 경우의 코사인과 사인값을 얻을 수 있음
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2009년 12월 23일 (수) 08:20 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(x=a\pi\)일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음
  • 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 해와 깊은 관련이 있어서, 방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음
  • 가령 가우스와 정17각형의 작도는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제
    \(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

 

 

구하는 방법의 분류
  • 중학교 수준에서는 이등변삼각형과 정삼각형에 대해 피타고라스의 정리를 사용하여 몇 가지 경우를 계산할 수 있음
  • 더 일반적으로는 \(x^n-1=0\) 방정식의 복소수해를 구하여 실수부와 허수부로부터 \(\theta=m\pi/n\)인 경우의 코사인과 사인값을 얻을 수 있음

 

 

삼각함수의 값

\(\cos {\frac{2\pi}{1}} = 1\)

\(\cos {\frac{2\pi}{2}} = -1\)

\(\cos {\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{2\pi}{4}=0\)

\(\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5 -1}{4}\)

\(\cos\frac{2\pi}{6}=\frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}}{6}\)

  • \(x^3 + x^2 - 2 x - 1=0\) 을 풀어야 함

\(\cos\frac{2\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

 

\(\cos\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{2^2}= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{2^3}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{16}=\cos\frac{\pi}{2^4}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{32}=\cos\frac{\pi}{2^5}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{64}=\cos\frac{\pi}{2^6}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}\)

\(\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)

 

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