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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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*  점화식으로 정의되는 수열<br>
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*  소모스 4,5,6,7 은 정수수열이며 소모스 8,9는 정수수열이 아니다<br>
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*  점화식만으로는 정수수열이 되는가가 자명하지 않다<br>
 
*  정수수열이 되는가의 문제 (integrality)<br>
 
*  정수수열이 되는가의 문제 (integrality)<br>
 
*  합동식을 생각할 때의 주기성 문제 (periodicity modulo n) '''[Robinson1992]'''<br>
 
*  합동식을 생각할 때의 주기성 문제 (periodicity modulo n) '''[Robinson1992]'''<br>
 
* [[타원곡선]]론과 클러스터 대수(cluster algebra) 등의 이론에서 등장<br>
 
* [[타원곡선]]론과 클러스터 대수(cluster algebra) 등의 이론에서 등장<br>
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* http://oeis.org/A006769<br>
 
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*  초기조건이 <math>a_1=x,a_2=y,a_3=z,a_4=w</math> 인 경우<br><math>x,y,z,w,\frac{w y+z^2}{x},\frac{w^2 x+w y z+z^3}{x y},\frac{y(wy+z^2)^2+w x (w^2 x+w y z+z^3)}{x^2 y z}</math><br>
 
*  초기조건이 <math>a_1=x,a_2=y,a_3=z,a_4=w</math> 인 경우<br><math>x,y,z,w,\frac{w y+z^2}{x},\frac{w^2 x+w y z+z^3}{x y},\frac{y(wy+z^2)^2+w x (w^2 x+w y z+z^3)}{x^2 y z}</math><br>
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*  점화식에서 얻어지는 항들이 모두 <math>\mathbb{Z}[x^{\pm},y^{\pm},z^{\pm},w^{\pm}]</math>의 원소, 즉 로랑 다항식이며, 이를 로랑현상(Laurent phenomenon) 이라 한다<br>
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*  점화식에서 얻어지는 항들이 모두 <math>\mathbb{Z}[x^{\pm},y^{\pm},z^{\pm},w^{\pm}]</math>의 원소, 즉 로랑 다항식이며, 이를 로랑현상(Laurent phenomenon) 이라 한다 '''[FZ2001]'''<br>
  
 
#  RecurrenceTable[{a[n] a[n - 4] == a[n - 1] a[n - 3] + a[n - 2]^2,<br>   a[1] == x, a[2] == y, a[3] == z, a[4] == w}, a, {n, 10}]<br>
 
#  RecurrenceTable[{a[n] a[n - 4] == a[n - 1] a[n - 3] + a[n - 2]^2,<br>   a[1] == x, a[2] == y, a[3] == z, a[4] == w}, a, {n, 10}]<br>
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*  로랑현상에 의해 초기조건 <math>a_1=a_2=a_3=a_4=1</math>의  정수수열이<br>
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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* Swart, Christine, and Andrew Hone. 2005. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences. math/0508094 (August 4). http://arxiv.org/abs/math/0508094
 
* Swart, Christine, and Andrew Hone. 2005. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences. math/0508094 (August 4). http://arxiv.org/abs/math/0508094
 
* van der Poorten, Alfred J. 2004. Elliptic curves and continued fractions. math/0403225 (March 14). [http://arxiv.org/abs/math/0403225. ]http://arxiv.org/abs/math/0403225.
 
* van der Poorten, Alfred J. 2004. Elliptic curves and continued fractions. math/0403225 (March 14). [http://arxiv.org/abs/math/0403225. ]http://arxiv.org/abs/math/0403225.
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* Fomin, Sergey, and Andrei Zelevinsky. 2001. The Laurent phenomenon. math/0104241 (April 25). http://arxiv.org/abs/math/0104241.
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* '''[FZ2001]'''Fomin, Sergey, and Andrei Zelevinsky. 2001. The Laurent phenomenon. math/0104241 (April 25). http://arxiv.org/abs/math/0104241.
 
* '''[Robinson1992]'''R. M. Robinson, "Periodicity of Somos sequences", Proc. Amer. Math. Soc., 116 (1992), 613-619. doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-1992-1140672-5 10.1090/S0002-9939-1992-1140672-5]
 
* '''[Robinson1992]'''R. M. Robinson, "Periodicity of Somos sequences", Proc. Amer. Math. Soc., 116 (1992), 613-619. doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-1992-1140672-5 10.1090/S0002-9939-1992-1140672-5]
 
* David Gale, Mathematical Entertainments: "The strange and surprising saga of the Somos sequences", Math. Intelligencer, 13(1) (1991), pp. 40-42.
 
* David Gale, Mathematical Entertainments: "The strange and surprising saga of the Somos sequences", Math. Intelligencer, 13(1) (1991), pp. 40-42.

2011년 3월 3일 (목) 18:56 판

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개요
  • 점화식으로 정의되는 수열
  • 소모스 4,5,6,7 은 정수수열이며 소모스 8,9는 정수수열이 아니다
  • 점화식만으로는 정수수열이 되는가가 자명하지 않다
  • 정수수열이 되는가의 문제 (integrality)
  • 합동식을 생각할 때의 주기성 문제 (periodicity modulo n) [Robinson1992]
  • 타원곡선론과 클러스터 대수(cluster algebra) 등의 이론에서 등장

 

 

소모스-4 수열
  • \(a_{n+4}a_{n} = a_{n+3} a_{n+2} + a_{n+1}^2\)
  • 초기조건 \(a_1=a_2=a_3=a_4=1\) 인 경우
  • 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, 126742987, 1687054711, 47301104551, 1123424582771, 32606721084786
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 4] == a[n - 1] a[n - 3] + a[n - 2]^2,  a[1] == 1, a[2] == 1,   a[3] == 1, a[4] == 1}, a,    {n, 20}]
  • http://oeis.org/A006720
  • http://oeis.org/A006769
  • 초기조건이 \(a_1=x,a_2=y,a_3=z,a_4=w\) 인 경우
    \(x,y,z,w,\frac{w y+z^2}{x},\frac{w^2 x+w y z+z^3}{x y},\frac{y(wy+z^2)^2+w x (w^2 x+w y z+z^3)}{x^2 y z}\)
  • 점화식에서 얻어지는 항들이 모두 \(\mathbb{Z}[x^{\pm},y^{\pm},z^{\pm},w^{\pm}]\)의 원소, 즉 로랑 다항식이며, 이를 로랑현상(Laurent phenomenon) 이라 한다 [FZ2001]
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 4] == a[n - 1] a[n - 3] + a[n - 2]^2,
      a[1] == x, a[2] == y, a[3] == z, a[4] == w}, a, {n, 10}]
  • 로랑현상에 의해 초기조건 \(a_1=a_2=a_3=a_4=1\)의  정수수열이

 

 

 

소모스5- 수열
  • \(a_{n+5}a_{n} = a_{n+4} a_{n+1} + a_{n+3} a_{n+2}\)
  • 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, 1249441, 9434290, 68570323, 1013908933
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[5 + n] == a[2 + n] a[3 + n] + a[1 + n] a[4 + n], a[1] == 1, a[2] == 1, a[3] == 1, a[4] == 1, a[5] == 1}, a,   {n, 20}]

 

 

소모스-6 수열
  • \(a_{n+6}a_{n} = a_{n+5} a_{n+1} +a_{n+4}a_{n+2}+ a_{n+3}^2\)
  • 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, 2534423, 14161887, 232663909, 3988834875[1]
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 6] == a[n - 1] a[n - 5] + a[n - 2] a[n - 4] + a[n - 3]^2, a[1] == 1,   a[2] == 1, a[3] == 1, a[4] == 1, a[5] == 1, a[6] == 1}, a, {n, 20}]

 

 

소모스-8 수열
  • \(a_{n+8}a_{n} = a_{n+7} a_{n+1} +a_{n+6}a_{n+2}+a_{n+5}a_{n+3}+a_{n+4}^2\)
  • 1,1,1,1,1,1,1,1,4,7,13,25,61,187,775,5827,14815,420514/7,28670773/91,6905822101/2275
  1. RecurrenceTable[{a[n] a[n - 8] ==    a[n - 1] a[n - 7] + a[n - 2] a[n - 6] + a[n - 3] a[n - 5] +
        a[n - 4]^2, a[1] == 1, a[2] == 1, a[3] == 1, a[4] == 1, a[5] == 1,
       a[6] == 1, a[7] == 1, a[8] == 1}, a, {n, 20}]

 

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