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<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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* [[소수의 무한성]]
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<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5>
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<h5>유클리드의 증명</h5>
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(정리) 소수는 무한히 많다
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(증명)
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소수의 개수가 유한하다고 가정하고, <math>p_1, p_2, \cdots ,p_r</math> 가 모든 소수의 목록이라 하자.
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자연수 <math>N=p_1p_2\cdots p_r+1</math> 을 정의하자.
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<math>N</math>은 각 소수 <math>p_i</math>로 나누어 나머지가 1이므로, 1과 자신 이외의 약수를 가지지 않는다. 따라서 <math>N</math>은 소수이다.
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한편 N은 <math>p_1, p_2, \cdots ,p_r</math>와 같지 않으므로, 기존의 목록에 있지 않은 새로운 소수가 된다. 모순. ■
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<h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">오일러의 해석학적 증명</h5>
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* [[소수와 리만제타함수]]<br>
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<math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}=  \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math>
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<math>\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>
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<math>\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}  =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})</math>
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<math>\log(1+x) \approx x</math>
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<math>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}</math>
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>역사</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5>메모</h5>
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<h5>관련된 항목들</h5>
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
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* [[루트2는 무리수이다]]
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<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5>
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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<h5>블로그</h5>
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

2010년 4월 7일 (수) 14:47 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

유클리드의 증명

(정리) 소수는 무한히 많다

(증명)

소수의 개수가 유한하다고 가정하고, \(p_1, p_2, \cdots ,p_r\) 가 모든 소수의 목록이라 하자.

자연수 \(N=p_1p_2\cdots p_r+1\) 을 정의하자.

\(N\)은 각 소수 \(p_i\)로 나누어 나머지가 1이므로, 1과 자신 이외의 약수를 가지지 않는다. 따라서 \(N\)은 소수이다.

한편 N은 \(p_1, p_2, \cdots ,p_r\)와 같지 않으므로, 기존의 목록에 있지 않은 새로운 소수가 된다. 모순. ■

 

 

오일러의 해석학적 증명

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

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