"숫자 12와 24"의 두 판 사이의 차이

2010년 12월 25일 (토) 11:41 판

모든 자연수의 합과 리만제타함수
\(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)
12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
\(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\)
는 weight 12 cusp form
판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
\(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
오비폴드 오일러 표수
\(\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\)
라마누잔과 1729
\(1729=12^3+1^3=10^3+9^3\)

스털링 공식
\( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)

아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
\(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\)
리치(Leech)격자의 차원
돌발성 단순군 M24
If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)
분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(z=q\),\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)
\(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)
\(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+* [[숫자 12와 24]]
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 *  12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight<br><math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots</math><br> 는 weight 12 cusp form<br>[[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)]]<br>
 * <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math>
-* <math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math>
+*  오비폴드 오일러 표수<br><math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math><br>
+* [[라마누잔과 1729]]<br><math>1729=12^3+1^3=10^3+9^3</math><br>
+* [[스털링 공식]]<br><math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n   \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots   \right)</math><br>
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 * 26=24+2 는 보존 끈이론의 차원 http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595
-* [[스털링 공식]]<br><math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n   \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots   \right)</math><br>
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